検索用コード
奇数項と偶数項で規則性が異なる数列の和}$}}}} \\\\[.5zh] Σの正体がわかりにくので,\ 和の形で書き出してみる奇数項と偶数項を1つの項とみなした数列$\bm{\suuretu{a_n}}$を新たに考える.}} \\[.5zh] ここで1つ問題が生じる. \\[.2zh] $nが偶数の場合,\ 例えばn=4ならば,\ S_4=a_1+a_2\ となり,\ キリがよい.$ \\[.2zh] しかし,\ $nが奇数,\ 例えばn=3の場合,\ S_3=a_1+\textcolor{cyan}{3^2}\ のようにキリが悪い.$ \\[.2zh] 結局,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{$\bm{n}$が偶数のときと奇数のときで場合を分ける}}ことになる. \\\\\\\\
のように分割することはできない. \\[.8zh] \bm{和の形で書き出す}と,\ 奇数項と偶数項にそれぞれ規則性が見つかる. \\[1zh] まず,\ 奇数項と偶数項を1つにまとめた数列\suuretu{a_n}の一般項を求める. \\[.2zh] 問題の数列の一般項がkで表されているので,\ \suuretu{a_n}\,の一般項はiで表すことにする.
これを元に計算すると,\ \suuretu{a_n}の第i項が\,-4i+1\,と求まる. \\[1zh] \bm{先にキリがよい偶数の場合から求める.} \\[.2zh] S_n\,の第2m項までの和であるから,\ \bm{a_i\,の第m項までの和}をとることになる. \\[.2zh] Σ計算するとmの式になるので,\ \bm{n=2mの関係を用いてこれをnの式に戻す.} \\[1zh] \bm{nが奇数の場合,\ n=2m-1\ とおく.} \\[.2zh] このとき,\ m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots\ にn=1,\ 3,\ 5,\ \cdots\cdots\ が対応し,\ 統一性ができる. \\[.2zh] もし\ n=2m+1\ とおくと,\ m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots\ に\ n=3,\ 5,\ 7,\ \cdots\cdots\ が対応する. \\[.2zh] これでは統一性がなくなり,\ n=1のときの処理が面倒である. \\[1zh] 次に,\ \bm{偶数のときのS_n(=S_{2m})を利用して,\ 奇数の場合の和を求める.} \\[.2zh] つまり,\ S_3=S_4-(第4項),\ \ S_5=S_6-(第6項)\ と考えて求める. \\[.2zh] 一般化すると,\ \bm{S_{2m-1}=S_{2m}-(第2m項)}\ である. \\[.2zh] 元の数列の一般項\ (-\,1)^{k+1}k^2\ より (第2m項)=(-\,1)^{2m+1}(2m)^2=-\,4m^2 \\[.2zh] 整理した後,\ \bm{n=2m-1の関係を用いてnの式に戻す.} \\[1zh] 最後,\ 奇数の場合と偶数の場合に分けてそのまま答えておいてもよい. \\[.2zh] 本問に限っては,\ うまく1つの式にまとめることができる. \\[1zh] \bm{奇数項と偶数項をそれぞれ別々にまとめて計算する}こともできる.