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次の漸化式で定義される数列\suuretu{a_n}の一般項を求めよ.$ \\[.5zh] 簡易分数型} a_{n+1}=\bunsuu{\textcolor{red}{p}a_n}{\textcolor{red}{q}a_n+\textcolor{red}{r}}}$}} \\\\[1.5zh] $この型は,\ 次に学習する1次分数型a_{n+1}=\bunsuu{pa_n+q}{ra_n+s}$の$q=0$の場合に相当する. \\[.5zh] $よって,$\ 当サイトではこの型を簡易分数型と命名する. \\[.2zh] $1次分数型は難易度が高いが,$\ 簡易分数型は容易であり,\ 誘導なしで解くことを要求される. \\\\
$最初に\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{a_n\neqq0}}\ を示す必要がある.\ \bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{背理法}}を使うと簡潔に済む.$ \\[.2zh] $\textbf{\textcolor{red}{両辺の逆数をとった後で分解して置換する}}と,\ \textbf{\textcolor{blue}{特殊解型に帰着}}する.$ \\[.5zh] 特にr=p\ のとき,\ \bm{等差数列型\ b_{n+1}=b_n+\bunsuu qp}\ に帰着する.
と仮定すると,\ a_{n+1}=\bunsuu{2a_n}{3a_n+4}\ よりa_n=0である{よって,\ a_{n+1}=a_n=a_{n-1}=\cdots\cdots=a_1=0\ となるが,\ これは\ a_1=2\ に矛盾する.}{ゆえに,\ すべての自然数nについて,\ a_n\neqq0\ である. 両辺の逆数をとると
背理法といっても難しく考える必要はない. \\[.2zh] 下線部のように,\ a_n=0を仮定するとa_1=2と矛盾することが簡潔に示されていれば十分である.