general-fraction

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代表的な漸化式のパターンの中で最も厄介なものであり,\ 普通誘導が付く. \\  しかし,\ 式変形が複雑なため,\ 解法の暗記だけだと実際に解くのは難しい. \\  実際に自分で手を動かして演習しておく必要がある. \\\\\\  まず,\ {\boldmath $\textcolor{cyan}{a_{n+1}=a_n=x}\ とした\ \textcolor{red}{特性方程式\ x=\bunsuu{px+q}{rx+s}}$} を解く. \\\\\\  $[1]$\ \ [\textbf{特性方程式が,\ \textcolor{blue}{$\bm{重解\ \alpha\ をもつ}$}場合}] \\[.5zh]   \ \ $\bm{\textcolor{red}{a_{n+1}-\alpha}\ を計算すると,\ 必ず\ \textcolor{red}{a_n-\alpha}\ の形が現れる.}$ \\[.2zh]   \ \ \textbf{\textcolor{red}{両辺の逆数をとり,\ 分子を定数にする}}と, \textbf{\textcolor{blue}{等差数列型に帰着}}する. \\\\\\  $[2]$\ \ [\textbf{特性方程式が,\ \textcolor{blue}{異なる2解\ $\bm{\alpha,\ \beta}$\ をもつ}場合}]   \ \ \textbf{\textcolor{red}{2式の両辺を割る}}と, \textbf{\textcolor{blue}{等比数列型に帰着}}する. \\\\\\  $[3]$\ \ [\textbf{特性方程式を使わない場合} \text{[1]}\ 逆数をとるときは,\ 分母が0にならないことを示す必要がある.\ 背理法がよい. \\[1zh] \text{[3]}\ 問題でこの解法に誘導されることが多い. \\ \phantom{[3]}\ n次式型と同様,\ 等比数列型の最終形を満たすように定数を定める. \\ \phantom{[3]}\ このように定めた\ \alpha,\ \beta\ は,\ 特性方程式で求めた特殊解と一致する. \phantom{ (1)}\ $\textcolor{magenta}{\underline{\textcolor{black}{a_{n+1}=a_n=a_{n-1}=\cdots=a_1=3\ となるが,\ これは\ a_1=8\ に矛盾する.}}}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $\textcolor{magenta}{\underline{\textcolor{black}{ゆえに,\ 全ての自然数nについて,\ a_n\neqq3\ である.}}}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ $\textcolor[named]{ForestGreen}{a_n\neqq3}$\ より,\ \textcolor{red}{両辺の逆数をとる}と \phantom{ (1)}\ よって $\textcolor{cyan}{b_n=\bunsuu{1}{a_n-3}}$\ とすると $\textcolor{cyan}{b_{n+1}}=-\bunsuu12+\textcolor{cyan}{b_n}  [\textcolor{blue}{等差数列型}]$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ $\textcolor{blue}{\suuretu{b_n}は,\ 初項\ b_1=\bunsuu{1}{a_1-3}=\bunsuu15,\ 公差-\bunsuu12\ の等差数列}である.$ \\ a_{n+1}=\bunsuu{a_n-9}{a_n-5}\ より,\ 特性方程式は,\ \bm{x=\bunsuu{x-9}{x-5}} \\[.5zh] よって x^2-6x+9=0\ より (x-3)^2=0  ゆえに \bm{特殊解\ x=3} \\[1zh] a_{n+1}-3\ を通分して計算していくと,\ \bm{分子に\ a_n-3\ が表れる.} \\ a_n\neqq3\ を背理法で確認後,\ 両辺の逆数をとる. \\ \bm{分母と同じ形を無理矢理分子に作り出し,\ 分解}する. \\ 分子の次数下げと同じ要領の変形である.\ 置換して等差数列型に帰着する. \\[1zh] \text{本問は,\ 問題で\ $b_n=\bunsuu{1}{a_n-3}$\ に置換するよう誘導されることも多い.} \\ その場合も,\ 誘導を半ば無視し,\ 解答と同様の変形をしてから置換するのがよい. \\[1zh] 一方,\ b_n=\bunsuu{1}{a_n-3}\ を\ a_n=\bunsuu{1}{b_n}+3\ に変形して代入する方法も考えられる. \\[1zh] 両辺の逆数をとる 仮定すると,\ a_に矛盾する. \phantom{ (1)}\ $\textcolor{blue}{\suuretu{b_n}は,\ 初項\ b_1=\bunsuu{a_1+3}{a_1-2}=-4,\ 公比6の等比数列}である.$ a_{n+1}=\bunsuu{3a_n+6}{a_n+4}\ より,\ 特性方程式は \bm{x=\bunsuu{3x+6}{x+4}} \\ よって x^2+x-6=0\ より (x+3)(x-2)=0  ゆえに \bm{x=-3,\ 2} \\[1zh] a_{n+1}+3,\ a_{n+1}-2\ を計算すると,\ \bm{分子に\ a_n+3,\ a_n-2\ が表れる.} \\ この2式の両辺を割って,\ 等比数列型に帰着させる. \\[1zh] 異なる2解}である.$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $\textcolor{blue}{\suuretu{b_n}は,\ 初項\ b_1=\bunsuu{a_1+3}{a_1-2}=-4,\ 公比6の等比数列}である. \bunsuu{a_{n+1}-\beta}{a_{n+1}-\alpha}\ を計算していき,\ 無理矢理\ \bm{r\cdot\bunsuu{a_n-○}{a_n-□}}\ の形になるように変形する. \\ 言うだけなら容易だが,\ 実際にやってみると中々厄介である. \\[1zh] 等比数列型\ となるように\ r,\ \alpha,\ \beta\ を定める. \\ まず,\ 第2式と第3式から\ \alpha,\ \beta\ を求める. \\ この2式の形が全く同じであることをうまく利用すると効率がよい. \\ 2式は,\ \bm{\bunsuu{6-4x}{3-x}=-x}\ に\ \alpha,\ \beta\ を代入した式である. \\ これは,\ \bunsuu{6-4x}{3-x}=-x\ の解が\ \alpha,\ \beta\ であることを意味している. \\ \alpha,\ \beta\ が求まれば,\ 本解と同様の等比数列型になる. \\ なお,\ \alpha,\ \beta\ を逆にしても結果は同じになる. \\[1zh] 普通,\ 別解の方法に問題で誘導されることが多い.