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}点Oを原点とする.\ $\bekutoru{OA}=\bekutoru*a=(a_1,\ a_2),\ \bekutoru{OB}=\bekutoru*b=(b_1,\ b_2)$,\ $\triangle$OABの面積を$S$と a_1b_2-a_2b_1}$であることを示せ. \\
三角比による三角形の面積の公式\bm{S=\bunsuu12ab\sin\theta\,が元になる.} \\[.8zh] これを,\ \bm{\sin\theta\ →\ \cos\theta\ →\ 内積の定義}という流れでベクトルで表し,\ 整理すればよい. \\[.2zh] \sin^2\theta+\cos^2\theta=1より本来\,\sin\theta=\pm\ruizyoukon{1-\cos^2\theta}\ だが,\ \,\sin\theta>0\,より\ \sin\theta=\ruizyoukon{1-\cos^2\theta}\ である. \\[.2zh] 内積の定義を適用し,\ 通分すると結局約分できる. \\[1zh] さらに,\ 成分表示にした後に整理する.
\bm{S=0とすると,\ a_1b_2-a_2b_1=0\ \ (平行条件\,\bekutoru*b=k\bekutoru*a\,の成分表示)}となる. \\[.2zh] これは,\ \bm{「2つのベクトル\,\bekutoru*a,\ \bekutoru*b\,が平行ならば面積は0になる」}という当たり前のことを意味する.
高校数学で最も鬱陶しい公式の1つだが,\ 以下の三角形の面積の公式は\textbf{\textcolor{blue}{要暗記}}である
(2)\ \ \textcolor[named]{ForestGreen}{Aが原点となるよう3点を平行移動}すると\
\bm{座標平面上の3点が与えられたときの面積は,\ 成分表示の公式で求めるのが最速}である. \\[.2zh] しかし,\ 三角形の面積の成分表示の公式は,\ 3点のうち1点が原点でなければ使えない. \\[.2zh] 3点がいずれも原点でない場合,\ \bm{1点が原点にくるように3点を平行移動}してから適用する. \\[.2zh] 本問の場合,\ 点\mathRM{A}が原点にくるように平行移動すると,\ x方向に-2するだけで済む.