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}$数列\suuretu{a_n},\ \suuretu{b_n}は,\ \ a_1=b_1=\bunsuu12,\ \ a_{n+1}=\bunsuu{a_n}{1-{b_n}^2},\ \ b_{n+1}=a_{n+1}b_n\,を満たして$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$いる.\ \ a_n,\ b_n\,を表すnの式を推定し,\ それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ.$ \\
$\bm{数学的帰納法\maru4\ :推測型の漸化式}$}}
a_n,\ b_n\,を順番に求めていけば,\ 一般項の推測は容易である. \\[.2zh] 漸化式の一般項の証明では,\ \bm{仮定の式だけでなく元の漸化式も利用する}ことが最大のポイントである. \\[.2zh] a_{k+1}=\bunsuu{k+1}{k+2}\,を示すには,\ 問題の漸化式において\bm{n=k}とすればよいことに注意してほしい. \\\\
\bunsuu{\bunsuu{k}{k+1}}{1-\left(\bunsuu{1}{k+1}\right)^2}=\bunsuu{\bunsuu{k}{k+1}\times(k+1)^2}{\left\{1-\left(\bunsuu{1}{k+1}\right)^2\right\}\times (k+1)^2}=\bunsuu{k(k+1)}{(k+1)^2-1} \\\\
漸化式の問題では,\ \bm{常にこの推測して数学的帰納法で証明するという最終手段が存在する.} \\[.2zh] 正攻法がわからない場合でも,\ すぐに諦めずに一般項の推測を試みてほしい.