recurrence-formula

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満たしている.\ a_n,\ b_nを表すnの式を推定し,\ それが正しいことを数$ \\[.2zh] 学的帰納法で証明せよ.                 [愛媛大]$ \\  $[1]\ \textcolor[named]{ForestGreen}{n=1}\ のとき$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ $ a_1=\bunsuu{1}{1+1}=\bunsuu12,\ \ b_1=\bunsuu{1}{1+1}=\bunsuu12\ より,\ \maru1は成立する.$ \\\\\\  $[2]\ \textcolor[named]{ForestGreen}{n=k}\ のとき$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ $ \textcolor{magenta}{\maru1の成立を仮定}すると \textcolor{cyan}{a_k=\bunsuu{k}{k+1},\ \ b_k=\bunsuu{1}{k+1}}$ \\\\ \phantom{ $[1]$}\ $\textcolor[named]{ForestGreen}{n=k+1}\ のとき$ \phantom{ $[1]$}\ よって,\ $\textcolor{magenta}{n=k+1\ のときも,\ \maru1は成立する.}$ \\\\ \centerline{$\textcolor{magenta}{[1],\ [2]より,\ 全ての自然数nについて,\ \maru1は成立する.}$} \\\\\\ a_n,\ b_nを順番に求めていけば,\ 一般項の予想は容易である. \\ \bm{元の漸化式と仮定の式を両方とも用いてn=k+1のときを示す.} \\ \bunsuu{\bunsuu{k}{k+1}}{1-\left(\bunsuu{1}{k+1}\right)^2}=\bunsuu{\bunsuu{k}{k+1}\times(k+1)^2}{\left\{1-\left(\bunsuu{1}{k+1}\right)^2\right\}\times (k+1)^2}=\bunsuu{k(k+1)}{(k+1)^2-1} \\\\ 漸化式の問題では,\ 常にこの最終手段が存在する. \\ いざというとき,\ 一般項さえ予想できれば,\ 数学的帰納法で証明できる.