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A,\ B,\ C\,3人が合格する確率がそれぞれ$\bunsuu12,\ \bunsuu23,\ \bunsuu34$であるとき,\ 次の確 \\[.2zh] \hspace{.5zw}率を求めよ. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 1人だけが合格する確率. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 少なくとも1人が合格する確率. \\ 事象Aに対し,\ Aが起こらない事象をAの\bm{\textcolor{blue}{余事象}}といい,\ \bm{\textcolor{red}{\overline{A}}}\,で表す.$ \\[.5zh]  $このとき,\ 全事象Uの確率  $この等式により,\ P(A)とP(\overline{A})\ の一方が求まればもう一方も求まる.$ \\  $\bm{\textcolor{red}{直接求めにくい確率は,\ もう一方を求めて1から引けばよい}}のである.$ \\\\\\  (1)\ \ \textcolor{cyan}{Aだけが合格}する確率は Bだけが合格}する確率はCだけが合格}する確率は3人とも不合格}になる確率はAだけ,\ Bだけ,\ C}だけが合格する3つの場合がある. \\ \phantom{(1)}\ これらは互いに\bm{排反}であるから,\ それぞれを求めて足せばよい. \\ \phantom{(1)}\ 最後に足すことを見越し,\ 約分はしないでおく. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \text{A}だけが合格する場合は,\ \text{Aが合格し,\ かつBとCが不合格}になる場合である. \\ \phantom{(1)}\ 3人の合格・不合格は,\ 互いに影響しないから\bm{独立}である. \\ \phantom{(1)}\ よって,\ 「(\text{A}が合格)\times(\text{B}が不合格)\times(\text{C}が不合格)」\ で求められる. \\ \phantom{(1)}\ また,\ \bm{不合格になるという事象は,\ 合格するという事象の余事象}である. \\ \phantom{(1)}\ よって,\ 不合格となる確率は,\ 「\bm{1-(合格する確率)}」\ で求められる. \\ \phantom{(1)}\ \text{Bだけ,\ C}だけが合格する場合も同様に考えて求めればよい. \\[1zh] (2)\ \bm{「少なくとも~」}とあれば,\ ほとんどが余事象を利用して求めると簡潔に済む. \\ \phantom{(1)}\ \bm{「少なくとも1人が合格」の余事象は,\ 「全員が不合格」}である. \\ \phantom{(1)}\ これを1から引けばよい. m個のサイコロを同時に振る.\ これをn回繰り返すとき,$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ 毎回,\ 少なくとも1個のサイコロに1の目が出る確率を求めよ. \\[.5zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 少なくとも1回,\ すべてのサイコロに1の目が出る確率を求めよ. \\%九州大 1回}振るときに\textcolor{red}{1の目が少なくとも1個}出る確率はn回}振るときの確率は  1回目が2回目に影響するはずはないから,\ 各回の試行は明らかに\bm{独立}である. \\ \phantom{(1)}\ よって,\ 1回の試行の確率を求め,\ n回分掛ければよい. \\ \phantom{(1)}\ 「少なくとも~」とあるから,\ 余事象を考える. \\ \phantom{(1)}\ 「1の目が少なくとも1個出る」の余事象は,\ \bm{「1の目が1個も出ない」}である. \\ \phantom{(1)}\ m個のサイコロは,\ 互いに影響しないから\bm{独立}である. \\ \phantom{(1)}\ よって,\ それぞれのサイコロについての確率を掛ければよい. \\ \phantom{(1)}\ ゆえに,\ \bm{m個のサイコロの目がいずれも1でない確率}は  これを1から引けばよい.\ さらにn回掛けて(n乗して)答えとなる. \\[1zh] (2)\ \bm{「n回振るとき,\ m個全て1になる回が1回でもあればよい」}が題意である. \\ \phantom{(1)}\ この余事象は,\ 「m個全て1になる回がn回のうち1回もない」である. \\ \phantom{(1)}\ 言い換えると,\ \bm{「n回とも,\ m個のうち少なくとも1個は1でない」}(A)となる. \\ \phantom{(1)}\ 事象(A)の確率を求め,\ 1から引けば求める確率となる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ (1)と同様,\ 1回の試行の確率を求め,\ n乗して求める. \\ \phantom{(1)}\ つまり,\ \bm{「1回振るとき,\ m個のうち少なくとも1個は1でない」}(B)を求める. \\ \phantom{(1)}\ 余事象は\bm{「1回振るとき,\ m個すべてが1の目」}であり,\ その確率は\ \ よって,\ 事象(B)の確率は 1-\left(\bunsuu16\right)^m \\[.8zh] \phantom{(1)}\ ゆえに,\ 事象(A)の確率は  これを1から引いたものが,\ 求める確率である. サイコロを$n$回投げるとき,\ 出た目の積が4で割り切れる確率を求めよ. \\ 出た目の積が4で割り切れない確率}を求める. \\[1zh]   [1]\ \textcolor{cyan}{すべてが奇数}のとき1回だけ2または6が出て,\ 残りの$n-1回$がすべて奇数}のとき 「出た目の積が4で割り切れる」を言い換えると次となる. \\ 「4が少なくとも1回」または「4が1回も出ず,\ 偶数2,\ 6が少なくとも2回出る」 \\ これを直接求めるのは大変なので,\ \bm{余事象「4で割り切れない」}を考える. \\[1zh] つまり,\ \bm{「すべて奇数」または「1回だけが2,\ 6で,\ n-1回が奇数」}を求める. \\ この2つの場合は互いに\bm{排反}である. \\ 「1回だけが2,\ 6で,\ n-1回が奇数」は,\ \bm{反復試行}の扱いで求めることになる. \\ \bm{何回目に2,\ 6が出るかを考慮}する必要があるからである. \\ これは○1個と×n-1個の並べ方に等しいから,\ \kumiawase n1通りある. \\[1zh] \text{[1],\ [2]}を1から引けば求める確率となる.\ 次のように変形するとより簡潔になる. サイコロを$n$回投げるとき,\ 出た目の積が6で割り切れる確率を求めよ. \\ A:「少なくとも1回2,\ 4,\ 6が出る」B:「少なくとも1回3,\ 6が出る」} 「6で割り切れる」を言い換えると次となる. \\ \bm{「少なくとも1回2の倍数が出る」}(A)\ \bm{\underline{かつ}\ 「少なくとも1回3の倍数が出る」}(B) \\ これを直接考えるのは難しいので,\ 余事象を考える. \\[1zh] 余事象は,\ \bm{「2の倍数が1回も出ない」}(\overline{A})\ \bm{\underline{または}\ 「3の倍数が1回も出ない」}(\overline{B}) \\ 「2の倍数が1回も出ない」は,\ 「n回とも,\ 1,\ 3,\ 5が出る」である. \\ 「3の倍数が1回も出ない」は,\ 「n回とも,\ 1,\ 2,\ 4,\ 5が出る」である. \\ この2つは\bm{排反ではない}から,\ \bm{足した後で重複した分を引く}必要がある. \\ つまり,\ \bm{「(1,\ 3,\ 5が出る)+(1,\ 2,\ 4,\ 5が出る)-(1,\ 5が出る)」}を求める. \\ これを1から引いたものが求める確率である. \\[1zh] 排反でない2つの事象は,\ \bm{ベン図}で考えるとわかりやすい. \\ 求める確率は,\ 図の色塗り部分(\overline{A}\,または\,\overline{B}\,を除いた部分)である. \\[1zh] 集合の記号を用いて,\ \bm{数式で機械的に処理}していくのが理想である. \\ 求めるのは,\ P(A\cap B)\ (AかつBの確率)\ である. \\ 直接求めるのは難しいので,\ P(A\cap B)の余事象であるP(\overline{A\cap B})を1から引く. \\ ド・モルガンの法則よりとなる.