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4人がじゃんけんをして,\ 勝者が1人になるまで繰り返す.\ 負けた人は$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$次の回からは参加せず,\ あいこは1回と数えるものとする.\ $ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ 1回目で勝者が決まる確率を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ \ 2回目で勝者が決まる確率を求めよ.$ \\ 「1人の勝者を決める」や「順位を決める」問題は,\ \bm{人数の推移に着目}する. \\ 最初に,\ \bm{1回のじゃんけんによる人数の推移の確率をすべて求めておく.} \\ 各回の試行は\bm{独立}であるから,\ 人数の推移のパターンごとにn回掛ければよい. \\ さらに,\ 各推移パターンは\bm{排反}であるから,\ 最後に足し合わせる. \\[1zh] (1)\ じゃんけんの公式\ 3^n}}\ を適用する. \\[1zh] (2)\ 2回目で勝者が決まるときの人数の推移パターンは次の3通りがある. \\[.5zh] \textcolor{black}{   \ \ 最初 \ 1回目 2回目}結局,\ 6通りの人数の推移の確率を全て求めることになる. \\ \phantom{(1)}\ ただし,\ 「4→1」は,\ (1)が利用できるから求める必要はない. 3人がじゃんけんをして,\ 勝者が1人になるまで繰り返す.\ 負けた人は$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$次の回からは参加せず,\ あいこは1回と数えるものとする.\ $ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ n回目で勝者が決まる確率を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ \ n回目までに勝者が決まる確率を求めよ.$ \\ {n回目までに勝者が決まらない確率}を考える.n回目までに2人になり,\ 後はそのまま}である$確率は  あり得る人数の推移は,\ 3→1,\ 3→2,\ 3→3,\ 2→1,\ 2→2\ の5つである. \\ これらの確率を,\ あらかじめ全て求めておく. \\ \bm{3人じゃんけんでは,\ 「1人が勝つ」「2人が勝つ」「あいこ」が全て\ \bunsuu13}\ となる. \\ これは覚えておくとよい.\ また,\ このために,\ (1)(2)の答えがわりと綺麗になる. \\[1zh] (1)\ n回目で勝者が決まる推移は次の2パターンがあり,\ 互いに\bm{排反}である. \\[1zh] \text{(\hspace{.14zw}i\hspace{.14zw})}\ \bm{ずっと3人で,\ n回目に1人}になる.  n-1回目までの「3→3」はすべて\ \bunsuu13\ であるから,\ \left(\bunsuu13\right)^{n-1}\ である. \\[.5zh] \phantom{(ii)}\ さらに,\ n回目の「3→1」も\ \bunsuu13\ であり,\ これを掛けると結局\left(\bunsuu13\right)^n\ となる. \\[1zh] \text{(ii)}\ \bm{n-1回目までのどこかで2人になり,\ n回目に1人}になる. 「3→3」「3→2」「2→2」(計n-1回)はすべて\ \bunsuu13,\ 「2→1」のみ\ \bunsuu23\ である. \\ \phantom{(ii)}\ よって,\ どこで2人になるとしても,\ その確率は ここで,\ どこで2人になるかは,\ \bm{1回目~\,n-1回目のn-1通り}がある. \\ \phantom{(ii)}\ ゆえに,\ n-1倍することになる. \\[1zh] \phantom{(ii)}\ 上の解答では少し難しく記述したが,\ 要点は同じである. \\ \phantom{(ii)}\ \textcolor{cyan}{k回目に「3→2」}が起こるとすると,\ k-1回目までは「3→3」である. \\ \phantom{(ii)}\ 「3→2」「3→3」は\ \bunsuu13\ なので,\ k回目までの確率は \phantom{(ii)}\ さらに,\ k+1回目からn-1回目までは「2→2」の\ \bunsuu13\ である. \\ \phantom{(ii)}\ これは,\ (n-1)-(k+1)+1=n-k-1回ある. \\ \phantom{(ii)}\ さらに,\ 最後のn回目の「2→1」が\ \bunsuu23\ であるでも求まるが,\ 数列の知識も必要となり大変である. \\ \phantom{(ii)}\ \bm{余事象(n回しても1人にならない確率)}を考えて求めるのが簡潔である. \\[1zh] \phantom{(ii)}\ n回しても勝者が決まらない推移は次の2つがあり,\ 互いに\bm{排反}である. \\[1zh] \text{(\hspace{.14zw}i\hspace{.14zw})}\ \bm{ずっと3人のまま}である. \bm{3\,→\,3\,→\,3\,→\,\cdots\,→\,3\,→\,3\,→\,3} 確率は\left(\bunsuu13\right)^n \\[1zh] \text{(ii)}\ \bm{n回目までのどこかで2人になり,\ その後は2人のまま}である. \\ \phantom{(ii)}\ \bm{3\,→\,3\,→\,\cdots\,→\,3\,→\,\textcolor{cyan}{3\,→\,2}\,→\,2\,→\,\cdots\,→\,2\,→\,2\,→\,2} \\ \phantom{(ii)}\ 「3→3」「3→2」「2→2」はいずれも\ \bunsuu13\ である. \\ \phantom{(ii)}\ よって,\ どこで2人になるとしても,\ その確率は\left(\bunsuu13\right)^n\ となる. \\ \phantom{(ii)}\ ここで,\ どこで2人になるかは,\ \bm{1回目~\,n回目のn通り}がある. \\ \phantom{(ii)}\ ゆえに,\ n倍することになる.