反復試行の確率(基本) nCrpr(1-p)n-r

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サイコロを5回振るとき,\ 次の確率を求めよ.$  (1)\ \ 3の倍数の目がちょうど3回出る確率  (2)\ \ 3の倍数の目が2回以上出る確率 \\ 反復試行の確率(基本)同じ条件で同じ試行を繰り返すとき,\ 各回の試行は独立である.   このような独立な試行を繰り返しを反復試行という.   1回の試行で事象Aの起こる確率を$p$とする.   この試行を$n}$回繰り返すとき,\ 事象$A}$が$r}$回起こる確率は    これが反復試行の確率の公式であるが,\ 絶対に丸暗記をしてはならない.   以下で示すような式の意味合いの理解がなければ,\ 応用問題には通用しない.   (1)を考えよう.\ まず,\ 1回振って3の倍数の3,\ 6が出る確率は$26=13$である.   本問において想定される間違い}が主に3つある.    [1]\ \ $13+13+13=1$ (前項で説明したように論外)    [2]\ \ $13^3=1}{27}$   (残り2回が何でもよいわけではない) (残り2回も考慮して一見正しそうだが$・・・$)   [3]が間違いである理由は,\ 順序を考慮できていないことにある.   以下,\ 3の倍数の目が出る事象を○},\ \ 3の倍数の目が出ない事象を×}で表す.   \.{順}\.{番}\.{に}5回振って3の倍数の目がちょうど3回出るパターン例を挙げると以下となる.   [3]は,\ 1つの順序パターンの確率を求めたにすぎなかったわけである.   各順序パターンは互いに排反なので,\ 各場合の確率をすべて足し合わせて答えとなる.   よって,\ 結局は○3個と×2個の並べ方が何通りあるかを考えることに帰着する.   これは,\ 同じモノを含む順列であるから,\   $5ヶ所から○の位置を3ヶ所選ぶ}と×の位置は自動的に決まるから,\ C53}\,通りとなる.$   $5個を一旦別物とみて並べ,\ ○3個と×2個の重複度で割る}と, なぜ順序を考慮すべきなのかは,\ 場合の数の比で求めると考えるとわかりやすい. サイコロを2回振るときの確率を求めるとき,\ 6^2\,通りの重複\dot{順}\dot{列}を全事象にとることになる. このとき,\ (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (2,\ 1),\ ・・・\ の36通りが同様に確からしいのであった. (1回目,\ 2回目)=(1,\ 2),\ (2,\ 1)のように順序が異なるものは別物というわけである. また,\ サイコロ2個を同時に振るに変えたとしても同じ問題である}ことも重要である. 各サイコロの試行は独立だからである.\ \ (1個目,\ 2個目)=(1,\ 2),\ (2,\ 1)となるだけである. 「\,2個同時に振る」を「\,2回振る」に読み替え,\ 反復試行として考えた方がわかりやすい場合も多い. (1)\ \ 3^5\,を27×9として計算する人が多いが,\ 9×9×3として計算すると楽である. \ \ また,\ C nr=C{n}{n-r}\,より,\ C53=C52\,として計算した. (2)\ \ 明らかに余事象の利用}が有効である.\ 1から3の倍数の目が0回と1回出る確率を引けばよい. \ \ 0回出る確率は反復試行の公式的に書くと\,C5013^0-.3zw}23^5\,となるが,\ その必要はないだろう. \ \ なお,\ 一般に\,C n0=1,\ \ a^0=1\,とする決まりである. \ \ 一応,\ ちょうど2回,\ 3回,\ 4回,\ 5回出る確率を直接的に求める別解も示した. 白玉3個,\ 赤玉2個,\ 緑玉1個の合計6個の玉が入った袋から1個取り出して元に戻す ことを6回繰り返す.\ このとき,\ 白玉が1回,\ 赤玉が2回,\ 緑玉が3回取り出される確 率を求めよ.   1回の試行で白玉,\ 赤玉,\ 緑玉が出る確率はそれぞれ\ 「毎回元に戻す」といういわゆる復元抽出}である. 復元抽出の場合の各回の試行は独立}であるから,\ 反復試行の考え方で求められる. 白玉が出る事象を○,\ 赤玉が出る事象を△,\ 緑玉が出る事象を×で表すとする. このとき,\ ○△△×××\,の並べ方が何通りあるかを考えることに帰着する. 3種類以上の同じモノを含む順列は,\ C nr\,ではなく階乗で計算するほうがわかりやすい. 6ヶ所から○の位置を1ヶ所選び,\ 残り5ヶ所から△の位置を2ヶ所選ぶと