検索用コード
サイコロを5回投げるとき,\ 次の確率を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 3の倍数の目がちょうど3回出る確率. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 3の倍数の目が4回以上出る確率. 同じ条件で同じ試行を繰り返す}}ことを\textbf{\textcolor{blue}{反復試行}}という. \\  \textbf{\textcolor{red}{各回の試行は明らかに独立}}であるから,\ 各回の確率は単純に掛けてよい. \\[1zh]  5回投げて3回3の倍数の目が出るパターンを考える. \\  \textcolor{cyan}{3の倍数の目が出る事象を○},\ \textcolor{magenta}{3の倍数の目が出ない事象を×}とする. \\  2つの例を挙げると次のようになる  結局は○3個と×2個であるから,\ 確率の積は常に\  よって,\ 後は\textcolor{red}{○×の並べ方が何通りあるか}を考えればよい. \textbf{\textcolor{blue}{同じものを含む順列}}であるから, 1回目のサイコロの目が2回目に影響するはずはないから,\ 各回は独立である. \\[1zh] 「3回出る」は,\ \bm{残り2回はそれ以外の目が出なければならない}ことを意味する. \\ よって,\ 単純に\left(\bunsuu26\right)^3で終えることはできず,\ \left(\bunsuu46\right)^2を掛ける必要がある. \\ さらに,\ \bm{3の倍数の目が出るのが何回目で起こるか}も考慮する必要がある. \\ これは上で述べたとおり,\ ○×の並べ方と同じ数だけパターンがある. \\[1zh] 5箇所から○が入る場所を3箇所選ぶと考えると\,\kumiawase53\,通りである. \\ 5個を一旦別物として並べ,\ 後で○3個と×2個の重複度で割ると\,\bunsuu{5\kaizyou}{3\kaizyou2\kaizyou}\,通り. \\ どちらでもよいが,\ \text{C}で計算するのが普通である. \\[1zh] 一般化すると,\ 次の公式が導かれる.\ 1回の試行で事象Aの起こる確率をpとする. \\ この試行をn回繰り返すとき,\ 事象Aがr回起こる確率は \bm{\kumiawase nrp^r(1-p)^{n-r}} \\ 公式の丸暗記では応用が利かないので,\ 式の意味を理解しておくこと. \\[1zh] (2)\ \ 「4回以上出る」は,\ 「4回または5回出る」である. \\ \phantom{(2)\ \ }「4回出る」と「5回出る」は\bm{排反}なので,\ それぞれを求めて足せばよい. 白玉3個,\ 赤玉2個,\ 緑玉1個の合計6個の玉が入った袋から1個取り出 \\[.2zh] \hspace{.5zw}して戻すことを6回繰り返す.\ このとき,\ 白玉が1回,\ 赤玉が2回,\ 緑玉 \\[.2zh] \hspace{.5zw}が3回取り出される確率を求めよ.  1回の試行で白玉,\ 赤玉,\ 緑玉が出る確率はそれぞれ\ 「取り出して\,\textbf{\underline{戻す}}」のであるから,\ 各回の試行は\bm{独立}である. \\ よって,\ 反復試行の考え方で求めればよい. \\ 「白玉が出る」を○,\ 「赤玉が出る」を△,\ 「緑玉が出る」を×で表す. \\ このとき,\ ○△△×××\ の並べ方に帰着する. \\ 異なるものが3つ以上ある場合は,\ \text{C}ではなく階乗で計算したほうが楽である.