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5回に1回の割合で帽子を忘れる癖のあるK君が,\ 正月にA,\ B,\ C\,3軒を 順に年始回りをして家に帰ったとき,\ 帽子を忘れてきたことに気付いた.} \\[.2zh] \hspace{.5zw}2番目の家Bに忘れてきた確率を求めよ.        [早稲田大  原因Aによって結果Bが生じるとする. 結果Bの情報が与えられたとき,\ 原因がAであった確率}}が次で求まる. {帽子を忘れてきたとき,\ それが家Bであったという条件付き確率}は 事象Aが先に起こり,\ その後事象Bが起こるとする. \\ 先に起こる事象Aの情報は事象Bの確率に影響を与える. \\ このときの条件付き確率は,\ P_A(B)=\bunsuu{P(A\cap B)}{P(A)}\ \cdots\maru1\ であった. \\[1zh] 逆に,\ \bm{後に起こる事象Bの情報が,\ 先に起こる事象Aの確率に影響を与える.} \\ 直感的には納得しにくいが,\ 次の例を考えると当然であろう. \\ 赤玉2個と白玉5個が入っている袋から1個ずつ3回取り出すとする(戻さない). \\ ここで,\ 2回目と3回目に赤玉が取り出されたという情報を得た. \\ このとき,\ 1回目に赤玉が取り出された確率は?言うまでもなく0である. \\[1zh] さて,\ \bm{事象Bの情報を得た上での事象Aの確率は,\ 条件付き確率\ P_B(A)}\ である. \\ これは\maru1のAとBを単純に逆にすればよく,\ \bm{P_B(A)=\bunsuu{P(B\cap A)}{P(B)}}\ となる. \\[.8zh] これで,\ \bm{Bが起こる確率P(B)と,\ BもAも起こる確率P(B\cap A)に帰着}する. \\ 着目すべきは,\ P(B\cap A)は\bm{AとBの時間的順序が関係しない}ことである. \\ P(B\cap A)=P(A\cap B)\ が成り立つからである. \\ 結局,\ どちらが先か後かは重要ではなく,\ 単にP(B)とP(A\cap B)を求めればよい. \\[1zh] 「3軒のうちのいずれかの家で帽子を忘れる」という事象をBとする. \\ 今,\ 事象Bについての情報が与えられている. \\ この情報を得た上で,\ 「家\text{B}で忘れる」という事象Aの確率を求める問題である. \\ 公式に当てはめると,\ P_B(A)=\bm{\bunsuu{(家\text{\textbf{B}}で帽子を忘れる確率)}{(いずれかの家で帽子を忘れる確率)}}\ である. \\ 帽子を忘れる場合は,\ \text{「Aで忘れる」「Bで忘れる」「Cで忘れる」}が\bm{排反}である. \\ \text{「Bで忘れる」確率は,\ \textbf{「(Aで忘れない)かつ(Bで忘れる)」}}として求める. \\[1zh] 家\text{A}で忘れてきた確率は 家\text{C}で忘れてきた確率は  単純には,\ 家\text{A,\ B,\ C}のどこで忘れるかは対等で,\ \ すべて\ \bunsuu13\ となるように思える. \\ しかし,\ \text{家Bで忘れるには,\ 家Aで忘れない}という条件が付く.\ 家\text{C}も同様. \\ よって,\ 3軒は対等ではなく,\ 家\text{A}で忘れてきた確率が最も高くなる. 癌の検査の正確さが98\%だとする.\ つまり,\ 癌にかかっている人がこの \\[.2zh] \hspace{.5zw}検査を受けた場合に,\ 陽性と出る確率が98\%であり,\ 癌にかかっていな \\[.2zh] \hspace{.5zw}い人が受けた場合には98\%の確率で陰性と出る.\ さらに,\ 実際に癌にか \\[.2zh] \hspace{.5zw}かっている人の割合は0.5\%だとする.\ ある人がこの検査を受けたとこ \\[.2zh] \hspace{.5zw}ろ,\ 結果は陽性であった.\ この人が癌にかかっている確率を求めよ. \\ 癌にかかっている人の結果が陽性となる}確率は 癌にかかっていない人の結果が陽性となる}確率は 結果が陽性であるとき,\ 実際に癌にかかっているという条件付き確率}は 陽性という結果の情報は与えられているが,\ 癌か否かという原因の情報はない. \\ つまり,\ \bm{結果が陽性であるとき,\ その原因が癌である確率を求める}問題である. \\ 公式に当てはめて考えると次にようになる. \\[.3zh] \bm{\bunsuu{(癌で陽性となる確率)}{(陽性となる確率)}=\bunsuu{(癌で陽性となる確率)}{(癌で陽性となる確率)+(癌でなく陽性となる確率)}} \\[.3zh] 癌の人が0.5\%であるから,\ 癌でない人は99.5\%いる. \\ よって,\ 癌で陽性となる確率は,\ 0.5\%の98\%である. \\ また,\ 癌でなく陽性となる確率は,\ 99.5\%の2\%である. \\[1zh] 結果を\%で表すと,\ \bunsuu{49}{248}\kinzi0.198=\bm{19.8\%}\ だが,\ 低いと感じる人が多いだろう. \\ 98\%の正確さの検査の実際の確率が約20\%になることは,\ 直感的には不可解である. \\ 納得するために,\ 具体的な人数で考えよう. \\ 10万人いるとき,\ 実際に癌にかかっている人はその0.5\%,\ つまり500人である. \\ 逆に,\ 残りの99500人は癌にかかっていない人である. \\ 癌にかかっている500人を検査すると,\ 98\%の確率で陽性となる. \\ よって,\ 500人の内,\ 490人(98\%)が陽性,\ 残りの10人(2\%)は陰性となる. \\ 一方,\ 癌にかかっていない99500人を検査すると,\ 2\%の確率で陽性となる. \\ よって,\ 99500人の内,\ 1990人(2\%)が陽性,\ 残りの97510人(98\%)は陰性となる. \\ ゆえに,\ 結果が陽性となる人は,\ 全部で\ 490+1990=2480人\ いるのである. \\ この2480人中,\ 実際に癌である人が490人なので,\ 確率は\ \bunsuu{490}{2480}=\bunsuu{49}{248}\ となる. \\[1zh] さらに,\ この人が\bm{もう一度同じ検査を受け,\ 再び結果が陽性}であったとする. \\ このとき,\ この人が実際に癌である確率は次となる. \\ これは,\ \bm{再検査・精密検査の重要性}を物語っている. \\