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三角形の3つの内角の二等分線は必ず1点で交わる.}}\ その交点を\textbf{\textcolor{blue}{内心}}という.} \\[.2zh] 内心は\textbf{\textcolor{red}{3辺からの距離が等しい点}(\textcolor{red}{内接円の中心})}である.}
普通,\ 水色の点線と赤線はずれる(二等辺三角形の頂角から底辺に二等分線を引いた場合は一致). \\[.2zh] つまり,\ \bm{内角の二等分線と対辺の交点および内心から下ろした垂線の足は一致しない}(緑の点). \\[.2zh] 二等辺三角形でないのにこの2点が一致するかのように図示する学生が非常に多いので要注意!
内心に関する角の問題は\bm{3頂点と内心を結ぶ線分が内角を二等分する}ことを利用する. \\[1zh] (1)\ \ \alpha\,を求めるには\bm{(○+\times)}さえわかればよく,\ ○と×がそれぞれ何度かは必要ない.
(2)\ \ 内角を二等分することを用いると容易に\ \alpha\ が求められる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \triangle\mathRM{ABC}の内角の和180\Deg\,から\ \angle\mathRM{Aと\ \angle C}を引くと\ \angle\mathRM{B}が求まるので,\ これを2等分する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{三角形の外角はそれと隣り合わない他の2つの内角の和に等しい}ことを用いて\ \beta\ が求まる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 中学で学習済みであるが,\ 使いこなせていない学生は少なくない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ もちろん,\ 次のようにしても求められるが回りくどくなってしまう.
内心に関する長さの問題では\bm{内角の二等分線と辺の比の関係}を利用する. \\[.2zh] 『内心\,→\,二等分線の交点\,→\,内角の二等分線と辺の比の関係』を素早く連想できるようにしておこう. \\[.2zh] まず\bm{\triangle\mathRM{ABC}に着目}し,\ 辺の比から\mathRM{BD}の長さを求める. \\[.2zh] \mathRM{BD:DC=6:5\ より\ BD:BC=6:11\ であるから,\ BDはBCの\ \bunsuu{6}{11}\ である.} \\[.4zh] さらに\bm{\triangle\mathRM{ABD}に着目}し,\ 辺の比から\mathRM{AI:ID}が求められる. \\[.2zh] このように,\ \bm{2つの角で内角の二等分線と辺の比の関係を2回適用する}と内心の位置が特定できる.