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nは2以上の自然数,\ pは素数,\ a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_{n-1}\ は整数とする.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$f(x)=x^n+pa_{n-1}x^{n-1}+pa_{n-2}x^{n-2}+\cdots+pa_1x+pa_0\ を考える.$ \\[1.5zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ $f(x)=0\ が整数解\ \alpha\ を持てば,\ \alpha\ はpで割り切れることを示せ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $a_0\ がpで割り切れなければ,\ f(x)=0\ は整数解を持たないことを$ \\[.2zh] 少なくとも1つの解が整数}」}が条件の不定方程式と同様の発想で解く.$ \\[.2zh]  $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{解を文字で設定して代入}し,\ \textcolor{red}{最高次の項または定数項を分離する.}}$ \\[.2zh]  $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{因数分解により積の形}にして,\ \textcolor{red}{倍数・約数に関する性質を追求する.}}$ \\\\\\ \phantom{ (1)}\ \ $右辺はpの倍数であるから,\ 左辺の\ \alpha^n\ もpの倍数である.pは素数}であるから,\ \bm{\alpha\ はpの倍数である.整数解\ \alpha\ を持つと仮定する \phantom{ (1)}\ \ $右辺はpの倍数であるから,\ 左辺の\textcolor{cyan}{a_0もpの倍数}である.$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $これは,\ \textcolor{magenta}{a_0\ がpで割り切れないことと矛盾}する.$ \\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{f(x)=0\ は整数解を持たない \bm{最高次の項\ \alpha^n\,を分離}すると,\ 右辺はpをくくりだすことができる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ 安易に「\alpha^n\ がpの倍数より,\ \alpha\ がpの倍数」としてはいけない. \\ \phantom{(1)}\ \bm{\underline{pが素数}であるとき,\ 「\alpha^n\ はpの倍数」\ \Longleftrightarrow\ 「\alpha\ はpの倍数」} \\ \phantom{(1)}\ pが素数でないとき,\ 必ずしも成り立つとは限らない. \\ \phantom{(1)}\  \rei\ \ 6^3=216は4の倍数だが,\ 6は4の倍数ではない. \\[1zh] (2)\ 「もたない」という\bm{否定的命題}であるから,\ \bm{背理法}が有効である. \\ \phantom{(1)}\ 整数解をもつ場合の\ \alpha\ の性質が(1)で示されているから利用する. \\ \phantom{(1)}\ 文字で設定して代入すると,\ \bm{両辺をpで割る}ことができる. \\ \phantom{(1)}\ さらに,\ \bm{定数項\ a_0\ を分離}すると,\ 右辺はpをくくりだすことができる. 整数係数n次方程式\ \hspace{.5zw}$有理数\ \alpha\ が1つの解ならば,\ \alpha\ は整数であることを証明せよ.$ \\ \alpha=\bunsuu qp\ (p,\ q:互いに素な整数)}\  $\textcolor[named]{ForestGreen}{右辺は整数であるから,\ 左辺も整数}である.$ \\[.2zh]  $p,\ qは互いに素であるから 有理数解を文字で設定して代入する. \\ \bm{両辺にp^{n-1}を掛けた後,\ 最高次の項を分離する.} \\ p^nではなくp^{n-1}を掛けて,\ 左辺の\bm{分母にpを残す}のが最大のポイントである. \\ \bunsuu{q^n}{p}\ は整数であり,\ p,\ qが互いに素,\ であるから,\ p=1\ となる. \\ このようにして,\ 簡潔に\ \alpha\ が整数であることが示される. \\[1zh] 前問と同様に\ q^n=-p( )\ とすると,\ 次のような論理になる. \\ 右辺がpの倍数より,\ 左辺q^nもpの倍数である. \\ pとqは互いに素な整数で,\ より,\ p=1 整数係数n次方程式\\ がある.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$ただし,\ a_0,\ a_n\neqq0\ とする.\ $ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$この方程式の有理数解が\ \bunsuu{a_0の約数}{a_nの約数}\ の形であることを証明せよ.$ \\ 有理数解を\textcolor{cyan}{x=\bunsuu qp\ (p,\ q:互いに素な整数\,;\,p>0)}とおく.$ \\[.5zh] 有理数解\ \bunsuu qp\ は,\ \bm{\bunsuu{a_0の約数}{a_nの約数}\ の形である.} 本問は,\ 最高次の係数a_nと定数項a_0\ の両方の性質を追求する必要がある. \\ よって,\ 両辺にp^nを掛けて分母を完全に払っておくほうが統一的である. \\ \bm{最高次の項を分離した場合と,\ 定数項を分離した場合を両方考慮する.} \\[1zh] 本問は,\ 結果がとりわけ重要である. \\ \bm{因数定理を用いた高次式の因数分解と関連している}からである. \\ 例として,\ 6x^3+x^2+2x-1\ を因数定理を用いて因数分解するとしよう. \\ xにいくつかの数を代入して=0となるものを探すことになる. \\ 本問は,\ このときに代入すべき値を示している. \\ \bm{有理数解は,\ \bunsuu{a_0の約数}{a_nの約数}=\bunsuu{1の約数}{6の約数}\ の形に限られる}わけである. \\[.8zh] つまり,\ 代入するべき値は,\ \ \pm2や\pm3を代入するのは時間の無駄である.