最後から2問目でn≡2となっていますが、n≡±2の誤りですm(_ _)m

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平方剰余(2乗の余り)3の倍数}   3の倍数} \\ nは\textcolor{cyan}{3の倍数でない}\ で割ると1余る数} 偶数}\ \Longleftrightarrow\ n^2は\textcolor{red}{4の倍数} \\ nは\textcolor{cyan}{奇数}\ \Longleftrightarrow\ n^2は\textcolor{red}{4で割ると1余る数} 5の倍数} nは\textcolor{cyan}{5で割ると1か4余る数}で割ると1余る数} 5で割ると2か3余る数5で割ると4余る数} 4の倍数8の倍数} \\ nは\textcolor[named]{ForestGreen}{4で割ると2余る数}{8で割ると4余る数} \\ nは\textcolor{cyan}{奇数}8で割ると1余る数} ピタゴラス数の性質を調べる前に,\ 平方剰余についての基本知識を確認する. \\ 平方剰余とは,\ 平方数\ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \cdots\cdots\ の余りである. \\[1zh] nを3で割ったときの余りを考える.\ 当然,\ 0,\ 1,\ 2の3通りがあり得る. \\ これをそれぞれ2乗すると,\ n^2を3で割ったときの余り0,\ 1,\ 4になる. \\ ここで,\ 余り4は余り1と等しい(4\equiv1\ \text{mod}\,3)から,\ 結局0,\ 1の2通りになる. \\ つまり,\ \bm{3で割ったときの余りが2になる平方数は存在しない.} \\ このように,\ \bm{2乗すると余りの種類が減る}のである. \\ 4,\ 5,\ 8を法としても同様であり,\ ピタゴラス数の性質の証明に利用できる. \\[1zh] 3,\ 4を法とする平方剰余は,\ 暗記が推奨される. \\ 特に,\ \bm{4を法とする平方剰余が,\ 元の数の偶奇と対応する}ことは特筆に値する. \\ nが4の倍数かはn^2を\mod8で考えて始めて分かる. \\ n^2\equiv0\pmod4でも,\ nが4の倍数とはいえないからである. a^2+b^2=c^2\ を満たす自然数の組(a,\ b,\ c)}}を\bm{\textcolor{blue}{ピタゴラス数}}という.$ \\[1zh]    $\bm{\textcolor{blue}{ピタゴラス数の性質}}   以下,\ \bm{\textcolor{cyan}{\underline{a,\ b,\ cは互いに素}}}とする.$ \\[.5zh]      a,\ bの一方は偶数}},\ よって\bm{\textcolor{magenta}{cは奇数}}である.$ \\[.2zh]      a,\ bの一方は3の倍数}}である.$ \\[.2zh]      a,\ bの一方は4の倍数}}である.$ \\[.2zh]      a,\ b,\ cの1つは5の倍数}}である. a^2+b^2=c^2\ は,\ 言わずと知れた\bm{三平方の定理(ピタゴラスの定理)}である. \\ 要は,\ 三平方の定理を満たす自然数の組をピタゴラス数というのである. \\ 最も有名なピタゴラス数\bm{(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)}などは暗記必須である. \\ これらは,\ \bm{a,\ b,\ cが互いに素なピタゴラス数(原始ピタゴラス数)}である. \\ 原始ピタゴラス数を整数倍して得られる(6,\ 8,\ 10)などもピタゴラス数である. \\ このようなピタゴラス数は本質的ではないので,\ 原始ピタゴラス数の性質を探る. \\ \bm{ピタゴラス数の倍数に関する性質を背理法で証明する問題が頻出}である. \\ \maru1~\maru4から,\ \bm{abが12の倍数,\ abcが60の倍数}などもわかる. a,\ b,\ cは互いに素な自然数で,\ a^2+b^2=c^2\ が成立している.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$このとき,\ a,\ bの一方は3の倍数であることを示せ.$ \\     $n^2=(3k)^2=3(3k^2) より \textcolor{red}{n^2\,は3で割り切れる.}$ \\[.8zh]  (ii)\ \ $\textcolor{red}{n=3k\pm1}\ (k:整数)のとき$     $よって,\ \textcolor{red}{n^2\,は3で割ると1余る.}$ \\[1zh]  $\textcolor{cyan}{a,\ bともに3の倍数でないと仮定}する.$ \\[.2zh]  $このとき,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{a^2=3l+1,\ \ b^2=3m+1}\ \ (l,\ m:自然数)\ とおける.$ \\[.5zh]  $ここで a^2+b^2=(3l+1)+(3m+1)=3(l+m)+\textcolor{red}{2}$ \\[.2zh]  $よって,\ \textcolor{red}{a^2+b^2\,を3で割った余りは2}である.$ \\[.5zh]  $一方,\ \textcolor{red}{c^2\,を3で割った余りは0または1}である.$ \\[.5zh]  $これは,\ \textcolor{cyan}{a^2+b^2=c^2\,であることに矛盾}する.$ \\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{a,\ bの一方は3の倍数である.}$} \\\\ a,\ bがともに3の倍数でないと仮定}  $これは,\ \textcolor{cyan}{a^2+b^2=c^2\,であることに矛盾}する.$ \\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{a,\ bの一方は3の倍数である. あらかじめ,\ 平方数を3で割ったときの余り(平方剰余)について調べておく. \\ \bm{\begin{cases} nは3の倍数   \ \Longleftrightarrow\ n^2\,は3の倍数 \\ nは3の倍数でない\ \Longleftrightarrow\ n^2\,は3で割ると1余る数 \end{cases}}を示すわけである. \\ n=3k\pm1のときn^2の余りが一致することを見越してまとめて記述した. \\ まとめるのが難しいと思うならば,\ 別々に記述すればよい. \\ また,\ n=3k,\ 3k+1,\ 3k+2\ と場合分けしてもよい. \\[1zh] 本題を\bm{背理法}で示す.\ \bm{両辺の余りの不一致という矛盾を導く}ことが要点である. \\ 「a,\ bの一方は3の倍数」を否定したときに矛盾が生じることを示せばよい. \\ \bm{「a,\ bの\underline{一方は}\,3の倍数」の否定は,\ 「a,\ bは\underline{ともに}\,3の倍数\underline{でない}」}である. \\ a,\ bが3の倍数でないとき,\ a^2とb^2の余りはどちらも1である. \\ これを文字で設定し計算すると,\ \bm{(左辺)=a^2+b^2\ の余りが2}であるとわかる. \\ 一方,\ \bm{(右辺)=c^2\ の余りは0か1}である(平方数の余りは2になることはない). \\ よって,\ \bm{(余り2)=(余り0,\ 1)となり,\ 矛盾}することになるのである. \\ 実質同じだが,\ 合同式を用いると簡潔な記述になる. a,\ b,\ cは互いに素な自然数で,\ a^2+b^2=c^2\ が成立している.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$このとき,\ a,\ bの一方は偶数であることを示せ.$ \\ a,\ bの一方は偶数である.}$} \\\\ 実質的に前問と同じであるから,\ 合同式による解答のみ示す. \\ 偶数(2の倍数)に関する性質の証明であるが,\ \bm{\pmod4で考える}必要がある. \\ \pmod2では2乗しても余りの種類が減らないから,\ 矛盾を導けないのである. \\ nは偶数\ \Longleftrightarrow\ n^2\,は4の倍数 \\ nは奇数\ \Longleftrightarrow\ n^2\,は4で割ると1余る数 が偶数,\ n\equiv\pm\,1\pmod4はnが奇数}を意味する. \\ 以上から,\ a,\ bがともに奇数(偶数でない)と仮定すると,\ a^2\equiv1,\ b^2\equiv1とできる. \\ \bm{n^2\,を4で割ったときの余りがnの偶奇と対応している}ことが役立つのである. \\[1zh] \bm{a,\ bの一方が偶数,\ 他方が奇数ならば,\ cは奇数}である. \\ このことは,\ a,\ bの一方が4の倍数であることの証明に役立つ. a,\ b,\ cは互いに素な自然数で,\ a^2+b^2=c^2\ が成立している.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$このとき,\ a,\ b,\ c\,の少なくとも1つは5の倍数であることを示せ.$ \\ a,\ b,\ cがいずれも5の倍数でないと仮定}する.$ a,\ b,\ c\,の少なくとも1つは5の倍数である.}$} \\\\ \centerline{{\normalsize $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 前問までとは異なり,\ \bm{cも含めて少なくとも1つが5の倍数}であることを示す. \\ a,\ b,\ cが5の倍数でない場合,\ a^2,\ b^2,\ c^2\,を5で割ったときの余りは1か4である. \\ よって,\ a^2とb^2の余りの組合せは4通り考えられる. \\ 4通りの組合せの全てについてa^2+b^2\,の余りを求めると,\ 0,\ 2,\ 3の3種類となる. \\ a,\ b,\ cは互いに素な自然数で,\ cは奇数である.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$a^2+b^2=c^2\ が成り立つとき,\ a,\ bの一方は4の倍数であることを示せ.$ \\ a,\ bがともに4の倍数でないと仮定  $一方,\ \textcolor{red}{cは奇数}であるから,\ \textcolor{red}{c^2\equiv1}\ \pmod8\ である.$ \\[.5zh]  $これは,\ \textcolor{cyan}{a^2+b^2=c^2\,であることに矛盾}する.$ \\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{a,\ bの一方は4の倍数である. cが奇数であることがすでに示されていることを前提とする. \\ 4の倍数に関する性質の証明であるが,\ \bm{\pmod8で考える}必要がある. \\ n^2\,を\pmod4で考えると,\ nの偶奇に対応してしまうからである. \\[1zh] まず,\ \bm{\begin{cases} nは4の倍数 n^2\,は8の倍数 \\ nは4で割ると2余る数 n^2\,は8で割ると4余る数 \\ nは奇数 n^2\,は8で割ると1余る数 n\equiv0,\ \pm\,2,\ 4\pmod8は,\ nが偶数であることを意味する. \\ また,\ n\equiv0,\ 4\pmod8は,\ nが4の倍数であることを意味する. \\ さらに,\ \bm{n\equiv\pm\,1,\ \pm\,3\pmod8は,\ nが奇数}であることを意味する. \\ よって,\ cが奇数であることを考慮すると,\ c^2\equiv1となるわけである.