15x+1}{3x-2}\ が整数となるような整数xを求めよ.$
$(2)\ \ 4x}{x^2+2x+2}\ が整数となるような整数xを求めよ.$ {\normalsize $[\,東北学院大\分数式が整数となる条件$
最も基本的な例として,\ $4}{x}\ (分子が定数の分数)が整数となる条件$を考えよう.
「分母が分子4の約数」が条件となるから,\
分数式が整数となる条件は,\ $4x=y\ (y:整数)}$のような不定方程式とみなすこともできる.
本項で,\ 分子が定数ではない分数の場合の扱い方を学んでほしい. が必要である.
整数問題に限らず,\ 分数式は分子の次数を分母より低くする}のが基本である(数II}:式と証明).
分母と分子の次数が等しい場合,\ 分子に分母と同じ形を無理矢理作り,\ 分数を分割する.}
分母が1次式ならば分子は必ず定数になるから,\ (定数)}{(文字式)}\,の型に帰着する.
5+11}{3x-2}=y\ (y:整数)より,\ (3x-2)(y-5)=11として求めることもできる.
ここで,\ 3x-2=3(x-1)+1より3x-2は3で割ると1余る数である.
これを考慮すると,\ (3x-2,\ y-5)=(1,\ 11),\ (-\,11,\ -\,1)のみとなる. -11=3(-\,4)+1
-\,m^2-4m+4が平方数となる}ことが必要である
分数を整数mとおいて分母を払うと,\ 2次の不定方程式に帰着する.}
x^2\,の係数m=0のときは2次方程式にはならず解の公式が使えないので,\ 場合分けする.
m≠0のとき,\ 解の公式を適用した後,\ xが整数となるための条件を考える.
√{ }\,の中身のm^2\,の係数が負の場合,\ 実数解条件(D≧0)によって絞り込める}のであった.
xが整数となるならば,\ それ以前に実数でなければならないわけである.
√{ }\,がはずせなければならないことも考慮すると,\ さらなる絞り込みが可能である.
分数式が常に本解のように2次方程式に帰着する保証はないので,\ 別の考え方も重要である.
分数式が整数となるためには,\ 0以外のときは少なくとも\,分子}≧分母}\,でなければならない.}
(分数式)=0となる(分子)=0のときのみ場合分けし,\ 後は\,分子}≧分母}\,により絞り込む.
分子}≧分母}は,\ 分子}{分母≧1}と考えても同じことである.
すべての整数は,\ 0または絶対値が1以上}というわけである.
絶対値付きの不等式に帰着するので,\ 絶対値をはずして解けばよい.
本問の場合,\ x^2+2x+2}の中身は平方完成により常に正とわかるから,\ そのままはずせる.
4x}は,\ 中身が正か負かで場合分けをしてはずすことになる.
絶対値は,\ 中身が正のときはそのまま,\ 負のときは-をつけてはずすのであった.
分子}≧分母}\,は必要条件であるから,\ 実際に分数式が整数となることを確認して答える.
本解や別解1がうまくいかない場合,\ 分子と分母をそれぞれ文字でおいてみる}とよい.
このとき,\ 分母と分子の公約数をgとして設定する.}
xを消去するとg,\ mの不定方程式となり,\ (文字式)×(文字式)=(整数)}の形に変形できる.
x=gm}{4} g^2m^2}{16}+gm}{2}+2=g g^2m^2+8gm+32-16g=0
因数gの候補は,\ あらかじめ範囲を確認した上で考える.
gとxが求まれば,\ 4x=gmよりmも求められる.
$(2)\ \ 4x}{x^2+2x+2}\ が整数となるような整数xを求めよ.$ {\normalsize $[\,東北学院大\分数式が整数となる条件$
最も基本的な例として,\ $4}{x}\ (分子が定数の分数)が整数となる条件$を考えよう.
「分母が分子4の約数」が条件となるから,\
分数式が整数となる条件は,\ $4x=y\ (y:整数)}$のような不定方程式とみなすこともできる.
本項で,\ 分子が定数ではない分数の場合の扱い方を学んでほしい. が必要である.
整数問題に限らず,\ 分数式は分子の次数を分母より低くする}のが基本である(数II}:式と証明).
分母と分子の次数が等しい場合,\ 分子に分母と同じ形を無理矢理作り,\ 分数を分割する.}
分母が1次式ならば分子は必ず定数になるから,\ (定数)}{(文字式)}\,の型に帰着する.
5+11}{3x-2}=y\ (y:整数)より,\ (3x-2)(y-5)=11として求めることもできる.
ここで,\ 3x-2=3(x-1)+1より3x-2は3で割ると1余る数である.
これを考慮すると,\ (3x-2,\ y-5)=(1,\ 11),\ (-\,11,\ -\,1)のみとなる. -11=3(-\,4)+1
-\,m^2-4m+4が平方数となる}ことが必要である
分数を整数mとおいて分母を払うと,\ 2次の不定方程式に帰着する.}
x^2\,の係数m=0のときは2次方程式にはならず解の公式が使えないので,\ 場合分けする.
m≠0のとき,\ 解の公式を適用した後,\ xが整数となるための条件を考える.
√{ }\,の中身のm^2\,の係数が負の場合,\ 実数解条件(D≧0)によって絞り込める}のであった.
xが整数となるならば,\ それ以前に実数でなければならないわけである.
√{ }\,がはずせなければならないことも考慮すると,\ さらなる絞り込みが可能である.
分数式が常に本解のように2次方程式に帰着する保証はないので,\ 別の考え方も重要である.
分数式が整数となるためには,\ 0以外のときは少なくとも\,分子}≧分母}\,でなければならない.}
(分数式)=0となる(分子)=0のときのみ場合分けし,\ 後は\,分子}≧分母}\,により絞り込む.
分子}≧分母}は,\ 分子}{分母≧1}と考えても同じことである.
すべての整数は,\ 0または絶対値が1以上}というわけである.
絶対値付きの不等式に帰着するので,\ 絶対値をはずして解けばよい.
本問の場合,\ x^2+2x+2}の中身は平方完成により常に正とわかるから,\ そのままはずせる.
4x}は,\ 中身が正か負かで場合分けをしてはずすことになる.
絶対値は,\ 中身が正のときはそのまま,\ 負のときは-をつけてはずすのであった.
分子}≧分母}\,は必要条件であるから,\ 実際に分数式が整数となることを確認して答える.
本解や別解1がうまくいかない場合,\ 分子と分母をそれぞれ文字でおいてみる}とよい.
このとき,\ 分母と分子の公約数をgとして設定する.}
xを消去するとg,\ mの不定方程式となり,\ (文字式)×(文字式)=(整数)}の形に変形できる.
x=gm}{4} g^2m^2}{16}+gm}{2}+2=g g^2m^2+8gm+32-16g=0
因数gの候補は,\ あらかじめ範囲を確認した上で考える.
gとxが求まれば,\ 4x=gmよりmも求められる.
