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{平行でない2直線}で\textcolor[named]{ForestGreen}{1個}できる.}  直線}}    \textbf{\textcolor{red}{異なる2点}で\textcolor[named]{ForestGreen}{1本}できる.} \\[.5zh]  $[3]$\ \ \textcolor{cyan}{\textbf{三角形}}   \textbf{\textcolor{red}{同じ直線上にない3点}で\textcolor[named]{ForestGreen}{1個}できる.} \\ 平行でなく, 1点で交わらない3直線}で\textcolor[named]{ForestGreen}{1個}できる.} \\[.5zh]  $[4]$\ \ \textcolor{cyan}{\textbf{平行四辺形}} \textbf{\textcolor{red}{平行な2直線が2組}で\textcolor[named]{ForestGreen}{1個}できる.} 図形の個数は,\ \bm{各図形が一意に定まる条件に着目}して数える.\ 上に代表例を示した. \\[1zh] \text{[1]}\ \ 以下,\ 3直線が1点で交わることはないとする. \\ \phantom{[1]}\ \ 平行でない2直線があれば,\ その交点がただ1個定まる. \\ \phantom{[1]}\ \ 逆に,\ 1個の交点があれば,\ それに対する平行でない2直線がただ1組定まる. \\ \phantom{[1]}\ \ これは,\ \bm{非平行な2直線1組と交点1個が1対1で対応する}ことを意味する. \\ \phantom{[1]}\ \ よって,\ 交点の個数は,\ 平行でない2直線の選び方に等しい. \\ \phantom{[1]}\ \ ゆえに,\ 互いに平行でないn本の直線があるときの交点は \kumiawase n2\ (個) \\ \phantom{[1]}\ \ \bm{3本以上の直線が1点で交わる可能性がある場合は,\ その考慮が必要である.} \\[1zh] \text{[2]}\ \ 異なるn個の点のうちの2点を結んでできる直線は \kumiawase n2\ (本) \\ \phantom{[1]}\ \ ただし,\ \bm{3個以上の点が一直線上にある場合は,\ その考慮が必要である.} \\[1zh] \text{[3]}\ \ \bm{どの3点も同一直線上にない}n個の点を結んでできる三角形は \kumiawase n3\ (個) \\ \phantom{[1]}\ \ \bm{どの3本も平行でなく1点で交わらない}直線n本でできる三角形は \kumiawase n3\ (個) \\[1zh] \text{[4]}\ \ m本の平行線と交わるn本の平行線でできる平行四辺形は \kumiawase m2\times\kumiawase n2\ (個) \bm{四角形の総数から正方形となるものを引く.} \\ \bm{直交する2直線が2組あれば,\ 1個の四角形が定まる.} \\ よって,\ 6本の直線から2本ずつ選んだときの場合の数が長方形の総数に等しい. \\[1zh] 1辺の長さが1の正方形が何個あるかを考える. \\ このときの縦線の選び方は,\ \mathRM{A_1A_2,\ A_2A_3,\ A_3A_4,\ A_4A_5,\ A_5A_6}の5通りである. \\ 同様に,\ 横線の選び方も5通りあるから,\ 1辺の長さ1の正方形は5^2\,個ある. \\ 1辺の長さ2の正方形の縦線の選び方は,\ \mathRM{A_1A_3,\ A_2A_4,\ A_3A_5,\ A_4A_6}の4通りある. \\ 同様に,\ 横線の選び方も4通りあるから,\ 1辺の長さ2の正方形は4^2\,個ある. \\ さらに同様にしていくと,\ 1辺の長さ3,\ 4,\ 5の正方形は,\ 3^2,\ 2^2,\ 1^2\,個ある. 正n角形の対角線の本数を求めよ.$ \\   $n個の頂点のうち2個の頂点の選び方は \textcolor{red}{\kumiawase n2}\ (通り)$ \\[.2zh]   $このうち,\ \textcolor{cyan}{正n角形の辺となるn本を除く.} 基本的には,\ 2個の頂点に対して1本の対角線が定まる. \\ よって,\ 2個の頂点の選び方を考えればよい. \\ しかし,\ 隣合う2個の頂点を選んだ場合は対角線にはならないのでこれを除く. \\[1zh] 正多角形の対角線の本数は,\ 中学校で学習済みのはずだが覚えているだろうか. \\ 1個の頂点から引ける対角線は,\ その頂点と両隣の頂点を除くn-3本である. \\ n個の頂点があるからn倍すると,\ n(n-3)本となる. \\ これは,\ すべての対角線を2回重複して数えているから \bunsuu{n(n-3)}{2}\ (本)