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正12角形\mathRM{A_1A_2\cdots\cdots A_{12}}$\,の異なる3個の頂点を結んでできる次のよう \\[.2zh] \hspace{.5zw}な三角形の個数を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 正12角形と辺を共有しない三角形 \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 二等辺三角形 \\[.5zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 直角三角形   (4)\ \ 鈍角三角形   (5)\ \ 鋭角三角形 \\[.5zh] \hspace{.5zw} (6)\ \ 互いに合同でない三角形 \\ 正12角形を書くのは難しいので,\ \bm{円を12等分する}とよい. \\ 正5角形以上の正多角形は,\ まず外接円を書いてから図示するようにしよう. \\[1zh] さて,\ 辺を共有しない三角形は,\ \bm{総数から辺を共有する三角形を引いて求める.} \\ ただし,\ 2辺を共有する三角形と1辺を共有する三角形をそれぞれ引く. \\[1zh] 頂角が\mathRM{A_1}の2辺を共有する三角形には,\ \mathRM{A_1A_2A_{12}}\ (左図)\ がある(1個). \\ 頂角は\mathRM{A_1,\ A_2,\ \cdots,\ A_{12}}\ の12通りあるから,\ 2辺を共有する三角形は12個ある. \\[1zh] 1辺を共有する三角形は,\ \bm{共有する1辺を固定}して考える(右図). \\ \mathRM{A_1A_2を固定し,\ 残りの1個の頂点の取り方を考える.} \\ \mathRM{隣接する頂点A_3,\ A_{12}\,を除く,\ A_4,\ \cdots,\ A_{11}}までの8通りがある. \\ \mathRM{A_1A_2}\,以外の辺に対しても8通りずつあるから,\ 12\times8個である. 正三角形を含まない二等辺三角形}は \textcolor{cyan}{4\times12}=48\ (個)$ \\[1zh] まず,\ \bm{「二等辺三角形」は「正三角形」も含む}ことに注意する. \\ 頂角を\mathRM{A_1}に固定したときの二等辺三角形の個数を数える. \\ 単純には,\ 頂点は12個あるから,\ これを12倍すればよい. \\ しかし,\ この方法は,\ 正三角形を重複して数えてしまう. \\ 例えば,\ \mathRM{頂点A_1のA_5A_9と頂点A_5のA_1A_9と頂点A_9のA_1A_5}\ は1個である. \\[1zh] \bm{正三角形と正三角形でない二等辺三角形を別々に数える}ことにする. \\ 正三角形の個数は,\ 右図のように実際に書き出して数えると全部で4個ある. \\ 正三角形でない二等辺三角形は,\ 左図のように頂点を\mathRM{A_1}に固定して数える. \\ \bm{対称性を意識しながら数える}と4個であり,\ これを12倍すると総数が求まる. \\[1zh] \bm{二等辺三角形の頂角の特殊性に着目}し,\ 場合を分けた. \\ しかし,\ 二等辺三角形の中で\bm{正三角形だけはどの角も対等}であるが故,\ 重複する. \\ 場合分けするときは,\ \bm{特殊性が常に成立するかを確認}すべきなのである. 直径\mathRM{A_1A_7}\,に対する頂点}の選び方は \textcolor{red}{10}\ (通り)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{直径の選び方は6通り}ある. \bm{外接円の直径に対する円周角が直角である}ことを利用する. \\ \bm{外接円の直径を1つ固定}すると,\ 残りの頂点の選び方は図のように10通りある. \\ 直径は\ \mathRM{A_1A_7,\ A_2A_8,\ A_3A_9,\ A_4A_{10},\ A_5A_{11},\ A_6A_{12}}\ の6本あるから,\ 6倍する. 鈍角の頂点を$\mathRM{A_1}$}とする. が鈍角の三角形は $\textcolor{red}{4+3+2+1}=10\ (個)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 鈍角となる頂点の選び方は12通りあるから  \bm{鈍角の特殊性}に着目して場合分けする.\ まず,\ \mathRM{A_1}\,が鈍角の場合を全て数える. \\ 2個目の頂点を\mathRM{A_{12}}\,に固定すると,\ 残りの頂点は4通りの選び方がある(左図). \\ 直径となる\mathRM{A_{12}A_6}\,までいくと,\ \mathRM{A_1}が鈍角という前提条件を満たさなくなる. \\ 2個目の頂点が\mathRM{A_{11}(右図),\ A_{10},\ A_9}\,の場合も同様に求めていく. \\ 2個目の頂点が\mathRM{A_8}\,より先に進むと,\ 残りの頂点が何であれ\mathRM{A_1}\,が鈍角ではなくなる. \\ とにかく,\ \bm{1辺が直径になると鈍角三角形ではなくなる}ことを意識して考えよう. 鋭角の頂点の一方を$\mathRM{A_1}$}に固定する. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 残りの頂点は,\ $\textcolor{cyan}{\mathRM{A_2~A_6\,または\,A_8~A_{12}\,から2個}選べばよい.}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ その選び方は $\textcolor{cyan}{\kumiawase52\times2}=20\ (通り)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 固定する頂点は12通りあるが,\ 同じ三角形を2回数えることになる. \\[.5zh] 実は,\ \bm{鋭角を固定し,\ 後で重複度を考慮する}ほうが楽である. \\ 直径\mathRM{A_1A_7}\,で分割される一方の側から2個の頂点を選べば鈍角三角形となる. \\ 鋭角は2つあるから,\ 単純に12倍すると同じ三角形を2回数えたことになる. \\ 例えば,\ \mathRM{A_1固定のA_3A_6\,とA_6固定のA_1A_3\,は同一の三角形だが,\ 2回数えてしまう.} \\ 同様に,\ 全ての鈍角三角形を2回数えたことになるから,\ 最後に2で割る. 各頂点を$\mathRM{A_i}=i$\,とし,\ \textcolor{red}{$1$が鈍角となる場合}を考える. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $また,\ \textcolor{red}{他の2個の頂点をx,\ y}とする.$ \\[.2zh] \bm{鈍角三角形となる条件を数式で表す}ことを考える. \\ \mathRM{A_1=1,\ A_2=2,\ \cdots\ のように考え,\ \bm{鈍角を1に固定}する.} \\ このとき,\ \bm{残りの2つの頂点x,\ yが満たすべき条件が連立不等式で表される.} \\ 鈍角三角形の個数は,\ この連立不等式を満たす(x,\ y)の組数に等しいわけである. \\[1zh] \ 2\leqq y-6\leqq6も考慮すると1つの不等式にまとまる. 1対1に対応する. \\ よって,\)の組数を求めればよく,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6の5個から2個選ぶ. \\[1zh] 連立不等式が条件であるから,\ \bm{領域を図示して考える}のも有効である(数\text{I\hspace{-.1em}I}). \\ 整数の組(x,\ y)の組数は,\ 図形的には\bm{領域内の格子点の個数}である(右図). \\ 鈍角三角形は,\ 鈍角の特殊性に着目して考えることができた. \\ しかし,\ 鋭角三角形は3つの角がいずれも鋭角で対等であるから考えにくい. \\ \bm{先に直角三角形と鈍角三角形を求め,\ 総数から除く}のが結局は楽である. 三角形の1個の頂点を$\mathRM{A_1}$\,とする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ また,\ 次の頂点までの正12角形の辺の数を$x,\ y,\ z$とする. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{red}{x+y+z=12\ (1\leqq x\leqq y\leqq z)\ を満たす(x,\ y,\ z)の組数を求める.}$ \\[.7zh] 回転して一致するものは勿論,\ 裏返して一致するものも互いに合同な三角形である. \\ 三角形の合同条件の1つは,\ 3辺の長さが等しいことである. \\ 本問では,\ 3辺の長さは頂点の間隔に対応する. \\ つまり,\ \bm{頂点の間隔が異なる三角形が何種類あるか}を考えればよいのである. \\[1zh] これは,\ 一旦\bm{数式にして考える}とわかりやすい. \\ 要するに,\ x+y+z=12\,を満たす自然数解の組数を数えればよいわけである. \\ ただし,\ (3,\ 4,\ 5)と並び替えた(4,\ 5,\ 3)や(3,\ 5,\ 4)などは互いに合同である. \\ このような重複がないように,\ \bm{x\leqq y\leqq z\ という条件を加えて書き出す.} \\