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次の玉を用いるとき,\ 何通りのネックレスが作れるか.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ 黒玉4個,\ 緑玉2個,\ 赤玉1個   (2)\ \ 緑玉4個,\ 赤玉2個$ \\  (1)\ \ $\textcolor[named]{ForestGreen}{7個の玉の円順列の総数}この中で,\ \textcolor{cyan}{裏返しても一致するものが3通り}ある(下図).$ \\[1zh] じゅず順列の総数を求める場合,\ まず\bm{円順列の総数}を求める必要がある. \\ \bm{1個しかない赤玉を固定して考えると,\ 同じものを含む順列に帰着}する. \\ 黒玉4個と緑玉2個を一旦別物として並べ(6\kaizyou),\ 重複度4\kaizyou\,と2\kaizyou\,で割る. \\ 残りの6ヶ所から緑玉2個の場所を選ぶと考え,\ \kumiawase62=15通り\ としてもよい. \\[1zh] さて,\ すべて異なるもののじゅず順列のように単純に円順列を2で割ると間違える. \\ すべて異なるものの場合,\ 円順列とじゅず順列は2:1で対応していた. \\ しかし,\ 同じものを含む場合,\ 円順列とじゅず順列は2:1で対応しない. \\ そもそも,\ 裏返すと一致する異なる2つのペアが存在するから2で割ったのである. \\ しかし,\ \bm{左右対称に並ぶ場合,\ 裏返すと自身になり,\ 異なるペアが存在しない.} \\ よって,\ 左右対称に並ぶものは2で割ることはできず,\ 別個に数えることになる. \\[1zh] まず,\ \bm{左右対称の並び方を全て書き出して数える}と3通りあることがわかる. \\ この3通り以外の12通りの円順列には異なるペアが存在するから,\ 2で割る. \\ これと左右対称の円順列3通りを足すと,\ 求めるじゅず順列の総数となる. 1つだけのものがない場合,\ 1つを固定して考える方法が通用しない. \\ 試しに,\ 赤玉を1つ固定し,\ それ以外のものの順列を考える. \\ 固定した赤玉を左端に\textcolor{red}{■}と書くとすると,\ 次の順列は別物である. しかし,\ 円順列では同一の扱いになる.\ \bm{1つ固定しても重複が生じてしまう}のだ. \\ 結局,\ 簡単な公式はないので,\ \bm{すべて書き出して考える.} \\ 本問の場合,\ 赤玉の1つを最上部に固定し,\ もう1つの赤玉の位置を考えればよい.