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男子4人と女子3人を1列に並べるとき,\ 次の並べ方は何通りあるか.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ 女子3人が隣り合う.   (2)\ 女子が隣り合わない.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (3)\ \ 少なくとも2人の女子が隣り合う.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (4)\ \ 女子3人のうち,\ 2人だけが隣り合う.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (5)\ \ 男子\text{X}が女子2人と隣り合う.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (6)\ \ 女子\text{A,\ B,\ Cのうち,\ AがB,\ C}の少なくとも1人と隣り合う.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (7)\ \ 女子\text{A,\ B,\ Cのうち,\ AとBが隣合い,\ BとCが隣り合わない.}$ \\  基本は次の2点である. 隣接するもの}は, \textcolor{red}{1組にまとめて全体を並べた後, 組の中を並べる.}} \\[.5zh]  $[2]$ \textbf{\textcolor{cyan}{隣接しないもの}は, \textcolor{red}{それ以外のものを並べた後, 両端または間に入れる.}} \\\\\\\\  (1)\ \ 男子4人と\textcolor{cyan}{女子3人1組}の並び方は  まず,\ \bm{女子3人を1組}として,\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{女女女}\ の\bm{5つの順列}を考える. \\[.2zh] さらに,\ \bm{女子3人を組の中で並び替える.} \\ 5\kaizyou\,通りのいずれに対しても女子の並びが3\kaizyou\,通りあるから,\ \bm{積の法則}を適用する.  (2)\ \ 男子4人の並び方男子4人の間と両端の5ヶ所のうち3ヶ所に女子3人を1人ずつ入れる.} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $このときの場合の数は 先に男子を並べ,\ その間または両端に女子を入れれば,\ 女子が隣り合うことはない. \\ つまり, \land\ \fbox{男}\,\land\,\fbox{男}\,\land\,\fbox{男}\,\land\,\fbox{男}\ \land の\land の位置に女子を並べればよい. \\[1zh] 「隣り合わない」ならば,\ 「総数から隣り合うものを引く」ことが思い浮かぶ. \\ 確かに,\ 「\underline{2人が}\,隣り合わない」場合は,\ 「\underline{2人が}\,隣り合う」を引く方針もよい. \\ しかし,\ 「3人以上が隣り合わない」となると,\ 引く方針は一気に難しくなる. \\ 本問であれば,\ 「3人が隣り合う」と「2人だけが隣り合う」を引く必要がある. \\ 「3人が隣り合う」場合は,\ (1)のように容易に求まる. \\ 一方,\ 「2人だけが隣り合う」を求めるには,\ 結局本解の考え方を要する. →(4) \\ 結局,\ 本解のように求めるのが楽なのである.  (3)\ \ 総数から\textcolor{cyan}{隣り合わない場合を除けばよい.} \\[.5zh] \bm{「少なくとも~」は,\ 補集合を利用}すればよい. \\ 「少なくとも2人の女子が隣り合う」の否定は,\ 「女子が隣り合わない」である. \\  (4)\ \ 男子4人の並び方は  \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{男子4人の間と両端の5ヶ所のうち1ヶ所に女子2人をまとめて入れる.} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ このときの場合の数は $\textcolor{red}{5\times\zyunretu{3}{2}}=5\cdot3\cdot2=30\ $(通り) \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ さらに,\ \textcolor{cyan}{残りの4ヶ所のうち1ヶ所に残りの女子1人を入れればよい.} \\[1zh] 総数から女子3人が隣り合う場合と女子が隣り合わない場合を除く.} \\[.5zh] 女子2人を1組と考え,\ 安易に\ 6\kaizyou\times2\kaizyou\ で終えると間違える. \\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{女}\ \fbox{女女}\ のように3人並ぶ場合も含まれてしまうからである. \\[.3zh] \fbox{女}\ \fbox{女女}\,が\bm{隣り合わない条件も考慮}しなければならない. \\ また,\ 6\kaizyou\times2\kaizyou\ では,\ 3人のうちどの2人が組になるかの考慮も不足している. \\[1zh] \bm{男子を先に並べ,\ その間または両端に女子2人と女子1人を入れる.} \\ どこに入れるかが5通り,\ 女子3人のうち2人を並べる場合の数が\,\zyunretu32\,通りである. \\ さらに,\ 残りの女子1人をどこに入れるかが4通りある. \\[1zh] なお,\ (1),\ (2)が判明済みならば,\ 総数から引けばよい. 男子Xと隣り合う2人の女子の並び方}は $\textcolor{red}{\zyunretu32}=3\cdot2=6\ (通り)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{男子Xと隣り合う2人の女子を1つの組とする}と,\ 全体の並び方は \\[.2zh] \fbox{女X女}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{女}\ と考えて並べる. \\ 先に2人の女子と男子\text{X}の組を作るのがわかりやすい. \\ \bm{女子3人から2人選んで男子\text{\textbf{X}}の横に並べる.}\ その後,\ 全体の並びも考慮する. \\[1zh] なお,\ 「男子\text{X}」は,\ \bm{女子2人と隣り合うのは特定の男子である}ことを意味する. \\ よって,\ 女子に挟まれる男子が4人のうち誰になるかなどと考慮する必要はない. \\ もし,\ 「男子1人が女子2人と隣り合う」ならば,\ どの男子かで4通りがありうる. AとBが隣り合う並び方}は $\textcolor{red}{6\kaizyou\times2}=720\times2=1440\ (通り)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{AとCが隣り合う並び方}も同様に\textcolor{red}{1440通り}ある. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{AがB,\ Cの2人と隣り合う並び方}は 本問でも,\ 女子\text{A,\ B,\ C}はそれぞれが特定されている. \\ よって,\ 3人の誰が\text{A}になるかなどと考慮する必要はない. \\[1zh] まず,\ \text{AとB,\ AとC}が隣り合う場合の数をそれぞれ求める. \\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{女}\ \fbox{AB\vphantom{男}}\ の6つを並べる.\ また,\ \text{ABとBA}の2通りも考慮する. \\[1zh] \text{「AとBが隣り合う」と「AとCが隣り合う」}は\bm{排反ではない.} \\ よって,\ 重複部分\text{\textbf{「AとBが隣り合う\ かつ\ AとCが隣り合う」を引く.}} \\ これは,\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{BAC\vphantom{男}}\ の5つを並べればよい. \\[.3zh] また,\ \text{BACとCABの2通りも考慮する.}\ 当然,\ \text{ABC}などの並びは含まない. \\[1zh] \bm{排反ではない2つの条件を考慮するとき,\ ベン図をイメージする}のが有効である. \\ 求める場合の数は,\ 色塗りされた部分の総数なので,\ 重複部分を引く必要がある. \\ 重複部分は,\ 「\text{BAC,\ CAB}」である. \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{男子4人の間と両端の5ヶ所のうちの1ヶ所にAとBを並べる.} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ このときの場合の数は $\textcolor{red}{5\times2}=10\ (通り)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ さらに, \textcolor{cyan}{Bの両端を除く5ヶ所のうちの1ヶ所にCを入れればよい.} \\[1zh] \bm{ベン図}がイメージできれば,\ 本解の方法が自然である. \\ \text{「AとBが隣り合う」集合と「BとCが隣り合う」集合}の関係をベン図でみる. \\ 求める場合の数は色塗り部分であり,\ 重複部分は\text{「ABC,\ CBA」}である. \\[1zh] 直接求める別解も示す. \\ 先に男子を並べ,\ \ \text{どこに入れるかが5通り,\ さらにAB,\ BAの2通りがある.} \\ \text{ABの順で並べたとき,\ }次の5つの\land のうちの1つの\land に\text{C}を入れればよい. \text{BA}の順で並べた場合も,\ 同様に5通りの\text{C}の入れ方がある. \\ \text{AB,\ BAのいずれに対しても\text{C}の入れ方は5通りであるから,\ 積の法則を適用する.}