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異なる$\bm{n}$個のものの中から異なる$\bm{r}$個を取る組合せの総数}は} \\[.5zh] は3通りに表現できるが,\ いずれも重要である. \\[1zh] まず,\ \bunsuu{\zyunretu nr}{r\kaizyou}\ の意味を,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4から3個とる組合せの総数を例に考えよう. \\ 一旦,\ 4個から3個取って並べること(順列)を考える. \\ これは,\ \zyunretu43=4\cdot3\cdot2=24通りあるはずで,\ すべて書き出してみる. \\  [123],\ [132],\ [213],\ [231],\ [312],\ [321] (1,\ 2,\ 3を選んだ) \\  [124],\ [142],\ [214],\ [241],\ [412],\ [421] (1,\ 2,\ 4を選んだ) \\  [134],\ [143],\ [314],\ [341],\ [413],\ [431] (1,\ 3,\ 4を選んだ) \\  [234],\ [243],\ [324],\ [342],\ [423],\ [432] (2,\ 3,\ 4を選んだ) \\ このように,\ 順列は24通りあるが,\ 組合せだけで見ると4通りである. \\[1zh] 「選んで並べる(順列)」と「選ぶ(組合せ)」では,\ 組合せの方が楽そうである. \\ しかし,\ 計算で求めようとすると,\ 楽に求まるのは順列の方である. \\ 単純に積の法則を適用するだけで済むからである.\ この公式が\ \zyunretu nr\ であった. \\ よって,\ 組合せは,\ \bm{順列から逆算して求める}ことになる. \\ つまり,\ 一旦選んで並べた後で,\ 並びを無視するのである. \\ ここで,\ 選んだ異なる3個のものを並べるときの順列の総数は\,3\kaizyou\,通りである. \\ 例えば,\ 1つの組(1,\ 2,\ 3)に対して,\ その並びが\,3\kaizyou\,通りある. \\ これは,\ 他の組についても同様である. \\ 以上から,\ \bm{組合せの総数と順列の総数が1:3\kaizyou\ で対応する}ことがわかる. \\ よって,\ \bm{順列の総数\ \zyunretu43\ を3\kaizyou\ で割れば,\ 組合せの総数が得られる.} \\ これを一般化したものが\ \bunsuu{\zyunretu nr}{r\kaizyou}\ なのである. \\[1zh] \kumiawase nr\,の2つ目の表現は,\ \bunsuu{\zyunretu nr}{r\kaizyou}\ を整数の積で書き出したものである. \\ \kumiawase nr\,の実際の数値計算は2つめの表現で行う. 分子は\,\zyunretu nr\,であるから,\ r個の整数の積である. \を階乗のみで表現}したものが3つ目の式である. \\ 階乗表現の意味合いは,\ 「同じものを含む順列」の項目で確認する. \\ また,\ ある種の問題では,\ \kumiawase nr\,を階乗で表すことが要求される. \\ 素早く\ \kumiawase73=\bunsuu{7\kaizyou}{3\kaizyou4\kaizyou}\ のような変形をできるようにしておこう. \\[1zh] \text{[2]}\ \ n個からr個を選ぶことと,\ n個から残りのn-r個を選ぶことは同じである. \\ \phantom{[1]}\ \ \kumiawase97\,などは,\ この性質を用いて\,\kumiawase92\,と考えて計算するべきである. 男子7人,\ 女子5人から5人を選ぶとき,\ 次の場合の数を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ 12人から5人を選ぶ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ \ 男子3人,\ 女子2人を選ぶ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (3)\ \ 5人の中に女子が少なくとも1人含まれる.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (4)\ \ 特定の男子\text{A,\ Bと女子C}が含まれる.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (5)\ \ \text{特定の男子Aを含み,\ 特定の女子Cを含まない.}$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (6)\ \ 男子2人,\ 女子3人を選んで1列に並べる.$ \\ }A以外の男子6人とC以外の女子4人から残りの4人を選ぶ \phantom{(1)}\ \ その35通りのいずれに対しても,\ 女子5人から2人を選ぶ選び方が\ \kumiawase52\ 通り. \\ \phantom{(1)}\ \ よって,\ 積の法則を適用する. \\[1zh] (3)\ \ 「少なくとも1人」なので,\ \bm{補集合を利用}する. \\ \phantom{(1)}\ \ 「女子が1人も含まれない」,\ つまり「5人全員が男子」を引けばよい. \\[1zh] (4)\ \ \text{A,\ B,\ C}の3人は選ばれることが決定している. (\text{A,\ B,\ C,\ \maru{?},\ \maru{?}}) \\ \phantom{(1)}\ \ 後は,\ \text{A,\ B,\ C}以外の9人から残りの2人を選べばよい. \\[1zh] (5)\ \ (\text{A},\ \maru{?},\ \maru{?},\ \maru{?},\ \maru{?})\ の未定の4人を\text{AとCを}除く10人から選べばよい. \\[1zh] (6)\ \ 本問は,\ 12人から5人を選んで並べる\bm{順列}である. \\ \phantom{(1)}\ \ しかし,\ 選んで並べようにも,\ 選び方に人数の制限があり,\ 単純にはいかない. \phantom{(1)}\ \ これは,\ 順列\,\zyunretu nr=(n人からr人選ぶ)\times(r人並べる)\ を意味する. \\ \phantom{(1)}\ \ 複雑な順列では,\ このように\bm{選ぶことと並べることを別々に考える}とよい. \\ \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \bm{まず条件を満たすように選び,\ その後で並びを考慮する}のである. \\ \phantom{(1)}\ \ 本問でも,\ まず男子2人と女子3人の計5人を選ぶ. \\ \phantom{(1)}\ \ そのおのおのの場合に対して,\ 何通りの並び方があるかを考えればよい.