検索用コード
{円順列}}   $\bm{\textcolor{cyan}{異なるn個のものの円順列}の総数は   異なるn個のもののじゅず順列}の総数は  順列では,\ 次の5つの並びは別物である(5通り).  この5通りの列を,\ 左端が最上部にくるように円形に並べると下図となる. \\ 回転して一致するものは同じものとみなす}}のが決まりである. \\  この5つの円の並びは回転すると一致するから,\ 円順列では1通りである. \\  このように,\ 5つの横の列は,\ 1つの円の列になる. \\  逆に,\ 1つの円の列から,\ 5つの横の列を作成できる. \\  これは,\ \textbf{\textcolor{red}{順列と円順列が,\ $\bm{5:1}$で対応する}}ことを意味している. \\  よって,\ 円順列の総数は,\ 順列の総数を重複度5で割った\ $\textcolor{red}{\bunsuu{5\kaizyou}{5}=4\kaizyou}\ である.$ \\  一般化すると,\ $異なるn個のものの円順列の総数は  別の考え方で\,(n-1)\kaizyou\,を導くこともできる. \\ 円順列以外にも広く応用できる考え方が,\ \bm{「1つのものを固定する」}である. \\[1zh] 場合の数の問題は,\ \bm{対等性・対称性}を利用すると楽になることが多い. \\ しかし,\ 円順列では,\ 対等性のせいで重複度が生じ,\ 逆に話がややこしくなる. \\ そこで,\ \bm{1つのものを固定することで,\ あえて対等性を喪失させて考える.} \\ 対等性が厄介な場合,\ \bm{「1つを完全に固定して残りだけを考える」}のが有効である. \\[1zh] \textcolor{red}{■}を最上部に固定すると,\ 残りの4つの位置は対等ではなくなる. \\ よって,\ 異なる4つのものを4つの位置に並べればよく,\ 4\kaizyou\ 通りとなるのである. \\[1zh] 別の言い方をすると,\ \bm{1つのものからの相対的な並びを考えている}ことになる. \\ 円の列を真上から眺めるのではなく,\ \textcolor{red}{■}の位置に立って眺めるイメージである. \\ じゅず順列}}では,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{回転に加え,\ 裏返して一致するものも同じものとみなす.}} \\  例えば,\ 下の2つは裏返すと一致するから,\ じゅず順列では1通りである. \\  1つの円形の並びに対して,\ それを裏返した並びが必ずただ1つ存在する. \\  じゅず順列では,\ この2つを同じものとみなすのである. \\  これは,\ \textbf{\textcolor{red}{円順列とじゅず順列が$\bm{2:1}$で対応する}}ことを意味している. \\  よって,\ じゅず順列の総数は,\ 円順列の総数を2で割った\ 7人を円形に並べる方法は何通りあるか. \\[.5zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 異なる色の7個の玉で首飾りを作る方法は何通りあるか. \\[.5zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 7人から4人選んで円形に並べる方法は何通りあるか. \\ 本解のように,\ \bm{選ぶことと並べることを別々に考える}と応用しやすい. \\ まず7人から4人の組を選び(組合せ),\ その後選んだ4人を円形に並べたのである. \\ 7人から4人を選んで並べ(順列),\ 重複度4で割ると考えたのが別解である. 両親,\ 息子2人,\ 娘2人の6人を円形に並べる. \\[.2zh] \hspace{.5zw}次のような並び方は何通りあるか. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 両親が隣り合う並び方. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 男性と女性が交互に並ぶ並び方. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 両親が正面に向き合う並び方. \\ (1)\ \ \bm{隣り合うものは1組のものとして全体を並べ,\ その後組の中で並べる.} \\ \phantom{(1)}\ \ 両親を1組とすると5つの円順列であり,\ さらに両親2人の並びが2通りある. \\[1zh] (2)\ \ \bm{父親の位置を完全に固定して考える}のがわかりやすい. \\ \phantom{(1)}\ \ まず男性を並べる.\ 父親を固定すると,\ 息子2人の並びに帰着する. \\ \phantom{(1)}\ \ 次に,\ 女性3人を男性3人の間に並べる. \\ \phantom{(1)}\ \ 父親が固定されているから,\ 男性3人の間はすでに対等ではない. \\ \phantom{(1)}\ \ よって,\ 女性3人の通常の順列を考えることになる. \\[1zh] (3)\ \ 父親の位置を完全に固定して考えると,\ 母親の位置は向かい側の1通り. \\ \phantom{(1)}\ \ 後は子供4人の通常の順列を考えればよい.