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半径1の円に巻かれた糸をピンと張ったまま$(1,\ 0)$から$(0,\ 1)$までほどいていくとき, \\[.2zh] \hspace{.5zw}糸の端点の軌跡は媒介変数表示$\begin{cases} x=\cos\theta+\theta\sin\theta \\ y=\sin\theta-\theta\cos\theta \end{cases}\hspace{-.8zw}\left(0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}\right)$で与えられ,\ 下図 \\[1zh] \hspace{.5zw}の赤曲線を描く(円の伸開線).\ 次の値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 糸が通過する部分の面積$S$     (2)\ \ 糸の端点が描く曲線の長さ$L$ \\\\ \bm{xをy方向に\ [0\,→\,1]\ の範囲で積分}すると,\ \bm{曲線とx軸とy軸と直線y=1が囲む面積}が求まる. \\[.2zh] ここから\,\bunsuu14\,円の面積\ \bunsuu{\pi}{4}\ を引くのが簡潔である. \\[.5zh]%総合研究%プラチカ55%医学部合格 定積分計算は,\ まず2倍角の公式の逆によって次数を下げる. \\[.2zh] \bm{(整関数)\times(三角関数)}\ の形が表れるが,\ これは\bm{部分積分}するパターンである. \\[.2zh] 通常,\ \theta^2\cos2\theta\ を定積分するとき,\ 2回の部分積分が必要になる. \\[.2zh] しかし,\ 本問では先に\ \theta\sin2\theta\ を定積分しておくとその必要がなくなる. \bm{横\,\bunsuu{\pi}{2},\ 縦1の長方形から曲線とx軸とx=\bunsuu{\pi}{2}\ が囲む面積と\,\bunsuu14\,円の面積を引く}のもよい. \\[.5zh] 本解と同じになる途中の記述を省略しているので簡潔に感じるが,\ 計算量は同じである. 長さは容易に求まる.