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媒介変数表示$\begin{cases} x=3\cos\theta-\cos3\theta \\ y=3\sin\theta-\sin3\theta \end{cases}\hspace{-.5zw}(0\leqq\theta\leqq2\pi)で表される下図の曲線(エピサイ$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$クロイド)について,\ 次の値を求めよ.$ \\[1zh]\ \hspace{.5zw} (1)\ \ 囲まれた面積$S$        (2)\ \ 長さ$L$ \\\\ 対称性より,\ \bm{x\geqq0,\ y\geqq0\ の部分を4倍}すればよい. \\[.2zh] このとき,\ x方向に積分して求めるのは面倒である. \\[.2zh] 右図の緑の部分の面積を引く必要が生じるからである. \\[.2zh] また,\ 極値のx座標を求める必要も生じる. \\[.2zh] よって,\ y方向に積分して求めるべきである. \\[.2zh] 積分計算では,\ 2倍角の公式の逆と積和の公式を適用する. \\\\ \bm{加法定理\ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\ の逆}の適用が最大のポイントである. \\[.2zh] さらに,\ 半角の公式\ \sin^2\bunsuu{\theta}{2}=\bunsuu{1-\cos2\theta}{2}\ の逆を適用して根号をはずす. \\[.8zh] 対称性を生かして\ 0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}\ で考えていれば,\ 絶対値も単純にはずすことができる.