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媒介変数表示$\begin{cases} x=a\cos^3\theta \\ y=a\sin^3\theta \end{cases}\hspace{-.5zw}(a>0,\ 0\leqq\theta\leqq2\pi)$で表される下図の曲線(アステロイ \\[1zh] \hspace{.5zw}ド)について,\ 次の値を求めよ.\ ただし,\ ウォリスの公式を用いてよい. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 囲まれた面積$S$   (2)\ \ $x$軸周りの回転体の体積$V$   (3)\ \ 長さ$L$ \\[1zh] \centerline{ウォリスの公式  \bunsuu{\pi}{2} & (n:偶数) \\[.5zh] \ 1 & (n:奇数) あらかじめ図が与えられている場合にも必要かは微妙だが,\ 練習も兼ねて対称性を確認した. \\[.2zh] 面積・体積・長さでは,\ 可能な限り\bm{対称性や周期性}を利用しなければ計算が大変になる. \\[.2zh] 媒介変数表示関数の対称性の調べ方を再確認しておいてほしい. \\[1zh] アステロイドは媒介変数を消去して\ x^{\frac23}+y^{\frac23}=1\ とすることも可能である. \\[.2zh] しかし,\ 余計にややこしくなるので,\ 媒介変数表示のまま面積・体積・長さを求める. \\[1zh] (1)\ \ 当然\ \bm{x\geqq0,\ y\geqq0\ の面積を4倍}する.\ 積分区間に注意しつつ置換積分する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ウォリスの公式を使うことを目指し,\ \cos^2\theta=1-\sin^2\theta\ を用いる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ウォリスの公式を用いない場合,\ \bm{2倍角の公式と3倍角の公式でひたすら次数下げ}を行う. \\[1zh]   \sin^4\theta-\sin^6\theta  [偶数乗の積分] \\[.5zh] (2)\ \ \bm{x\geqq0,\ y\geqq0\,の部分の回転体の体積を2倍}すればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 奇数乗は,\ ウォリスの公式を用いない場合,\ \bm{微分形接触型に変形して置換積分}する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \sin\theta\,が1個分離できるから,\ 残りを\,\cos\theta\,のみで表す. \\[.2zh] (3)\ \ \bm{x\geqq0,\ y\geqq0\ の部分の長さを4倍}すればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 積分を見越し,\ \bm{2倍角の公式\ \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\ の逆}を用いる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 対称性を利用して\ 0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}\ で積分計算するからこそ,\ 容易に絶対値がはずせるのである. \\[1zh] サイクロイドと同様,\ 面積・回転体の体積・長さの結果は覚えておくとよい.