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空間内の3点\mathRM{P}(1,\ 1,\ 0),\ \mathRM{Q}(-\,1,\ 1,\ 0),\ \mathRM{R}(-\,1,\ 1,\ 2)を頂点とする\triangle\mathRM{PQR}をz軸の$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$周りに1回転して得られる回転体の体積Vを求めよ.\           [神戸大]$ \\   $\mathRM{平面z=tとz軸,\ 線分PR,\ QRの交点をそれぞれA,\ M,\ Nとする.}$ \\[.5zh]   z軸に垂直な平面で切断し,\ その断面積を積分して体積を求める. \\[.2zh] 立体の形状はイメージできなくてもよいが,\ \bm{座標軸と\triangle\mathRM{PQR}の位置関係}の把握が必要である. \\[.2zh] つまり,\ 座標空間上に\triangle\mathRM{PQR}を図示できるかが問われる. \\[.2zh] 一般には座標空間上の図形の図示は困難だが,\ 本問は3点の座標が特徴的なので容易に図示できる. \\[.2zh] \bm{\mathRM{P,\ Q}がxy平面上の点}であること,\ x,\ y座標が等しいから\bm{\mathRM{Q}の真上に\mathRM{R}がある}ことに着目する. \\[1zh] さて,\ 平面図形と平面で切断すると,\ その断面は\bm{線分}となる. \\[.2zh] よって,\ その\bm{線分をz軸周りに回転させてできる図形の面積}を求めることになる. \\[.2zh] まず,\ \bm{線分の両端の位置}を求める.\ 空間の直線と平面の交点なので,\ ベクトルを利用する. \\[.2zh] 2点\mathRM{A}(\bekutoru*a),\ \mathRM{B}(\bekutoru*b)を通る直線のベクトル方程式は \bekutoru*p=(1-s)\bekutoru*a+s\bekutoru*b \\[.2zh] これで空間の直線の方程式の媒介変数表示が得た後,\ z=tとすると平面z=tとの交点となる. \\[.2zh] 1点\mathRM{A}(\bekutoru*a),\ 方向ベクトル\,\bekutoru*d\,の直線のベクトル方程式\ \bekutoru*p=\bekutoru*a+s\bekutoru*d\ を用いてもよい. \\[.2zh] これを用いると,\ \bekutoru{OM}=\bekutoru{OP}+s\bekutoru{PR}=(1,\ 1,\ 0)+s(-\,2,\ 0,\ 2)=(1-2s,\ 0,\ 2s)\ と求まる. \\[1zh] 結局,\ \bm{線分\mathRM{MN}は直線y=1の\ -1\leqq x\leqq1-t\ の部分}であることがわかる. \\[.2zh] ただし,\ \mathRM{QR}=2よりtは0\leqq t\leqq2\,の範囲を動くから,\ -1\leqq1-t\leqq1\ である.\\[.2zh] ここで,\ 本問において最も重要なポイントを確認する. \\[.2zh] 一般に,\ 回転軸と交わらない線分を回転させてできる図形は\bm{ドーナツ型}である. \\[.2zh] そして,\ \bm{外側の円の半径と内側の円の半径は,\ 回転軸と線分の最長距離と最短距離で決まる.} \\[.2zh] よって,\ 線分\mathRM{MN}上で最も点\mathRM{A}から遠い点と近い点がどこになるかを探ることになる. \\[.2zh] まず,\ \bm{点\mathRM{A}から最も遠くなるのは点\mathRM{N}}で,\ その距離は\,\ruizyoukon2\,である. \\[.2zh] \bm{最も近い点は\mathRM{M}のx座標1-tが0以上のときと0以下のときで変化する.}\\[.2zh] つまり,\ t\leqq1とt\geqq1で場合分けを要する. \\[.2zh] 1-t\geqq0\,のときは,\ \bm{\mathRM{A}から線分\mathRM{MN}に垂線を下ろしたときが最短}で,\ その距離は1である. \\[.2zh] 一方,\ 1-t\leqq0\,のときは\bm{\mathRM{AM}が最短}で,\ 三平方の定理よりその距離は\ \ruizyoukon{(1-t)^2+1}\ となる. \\[.2zh] \mathRM{A}から直線\mathRM{MN}に垂線を下ろすと線分の範囲外になるので,\ \mathRM{AM}が最短といえるわけである. \\[.2zh] ここまでできれば後は計算するだけである.