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漸化式\ $a_1=1,\ a_{n+1}=\bunsuu12a_n+2$\ で定義される数列$\{a_n\}$の極限を求めよ. \\
漸化式と極限\maru1 特殊解型}}}} \\\\[.5zh] 漸化式を解いてから極限にとばせばよいだけであり,\ 99\%漸化式の問題である. \\[.2zh] 漸化式の理解や解法パターンの習得が不足しているならば,\ 数B:数列を再確認してほしい.
数列$\{a_n-4\}$は,\ 初項$a_1-4=1-4=-\,3$,\ 公比$\bunsuu12$の等比数列であるから 
復習も兼ねて,\ 一応最低限の解法確認をする. \\[.2zh] 本問は,\ 漸化式のパターンの中で重要度\text{No.1}の\bm{特殊解型\ a_{n+1}=pa_n+q}\,である. \\[.2zh] まず,\ a_{n+1}=a_n=\alpha\,とした特性方程式\,\alpha=p\alpha+q\,を解き,\ 特殊解\,\alpha\,を求める. \\[.2zh] 次のように,\ 元の漸化式からそれを特殊解で置き換えた式を引くと,\ 等比数列型に帰着する. \\[.2zh] 以上のようにして容易に極限が求まるが,\ その図形的意味が応用上重要である. \\[1zh] \textbf{\textcolor{magenta}{$\bm{\{a_n\}}$が$\bm{\alpha}$に収束すると\.{仮}\.{定}}}すると,\ $\textcolor{red}{\dlim{n\to\infty}a_{n+1}=\dlim{n\to\infty}a_n=\alpha}$となるはずである. \\[.2zh] よって,\ $a_{n+1}=pa_n+q$で定まる$\{a_n\}$の極限値$\alpha$は,\ $\textcolor{red}{\alpha=p\alpha+q}$を満たすことになる. \\[.2zh] この式は特性方程式そのものであり,\ \textbf{\textcolor{ForestGreen}{特殊解と極限が無関係ではない}}ことがわかる. \\[.2zh] ただし,\ 「答えだけなら特性方程式を解けば求まる」などと安易に考えてはいけない. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{ForestGreen}{特殊解$\bm{\alpha}$はあくまでも極限値の存在が前提であり,\ その存在を保証するものではない.}} \\[.2zh] 実際,\ $a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+1$のとき$\alpha=-\,1$だが,\ $a_n=2^{n}-1$より$\dlim{n\to\infty}a_n=\infty$である. \\[.2zh] この違いはどこにあるのか,\ グラフで図形的にとらえると,\ 視覚的に理解できる. \
漸化式a_{n+1}=\bunsuu12a_n+2は,\ 直線y=\bunsuu12x+2とy=xを用いて図形的にとらえることができる. \\[.6zh] a_2=\bunsuu12a_1+2であるから,\ x=a_1\,のときのy=\bunsuu12x+2上の点のy座標がa_2\,である. \\[.6zh] よって,\ まず点(a_1,\ 0)からy=\bunsuu12x+2とぶつかるまで上に進むと,\ 点(a_1,\ a_2)に到達する. \\[.6zh] この点からy=xとぶつかるまで右に進むと,\ 点(a_2,\ a_2)に到達する. \\[.2zh] 再び上に進むと点(a_2,\ a_3)に到達し,\ さらに右に進むと点(a_3,\ a_3)に到達する. \\[.2zh] これを繰り返してくと,\ y=\bunsuu12x+2とy=xの交点(4,\ 4)に近づいていくことがわかる. \\[.6zh] n→\,\infty\,でa_{n+1}=a_n\,であるから,\ 図形的にはy=xとの交点になるというわけである. \\[.2zh] a_1=6のように4より大きな値から始めたとしても,\ 結局4に収束する. \\[1zh] 一方,\ a_{n+1}=2a_n+1は,\ 直線y=2x+1とy=xを用いて図形的にとらえられる. \\[.2zh] 右図から,\ 無限大に発散していくことが視覚的にわかる.