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余角90°ーθの公式と補角180°ーθの公式

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次の極限を求めよ三角関数の極限(置換三角関数の極限の公式}}
三角関数の極限において$\bm{\textcolor{red}{\bunsuu00\,の不定形}}$となることが公式適用の目安である. \\[.2zh] このとき,\ \textbf{\textcolor{cyan}{$\bm{x\to0}$でない場合,\ $\bm{t\to0}$となるように文字を置換する.}} \\\\\\
\bunsuu00\,の不定形である.\ \ t\to0となるためには,\ x-1=tと置換する必要がある. \\[.6zh] \sin(\theta+\pi)=-\sin\theta\ \cdots\maru1\ を適用すると,\ 三角関数の極限の公式の形に変形できる. \\[.2zh] \maru1は公式だが,\ 非常時は加法定理で
\bunsuu00\,の不定形である.\ 置換は\ x-\bunsuu{\pi}{2}=t\ としてもよい. \\[.6zh] 公式\ \sin\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta\ を適用すると1-\cos tが現れるので,\ 分母分子に1+\cos tを掛ける. \\[.6zh] \bunsuu00\,の不定形である.\ 公式\ \cos\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta\ を適用する. \\[.6zh] \dlim{○\to0}\bunsuu{\sin○}{○}\,に帰着させるため,\ 分母に2\sin tをおき,\ つじつまを合わせる.
\bunsuu00\,の不定形ではないが,\ 以下の理由により,\ これも\ \dlim{x\to0}\bunsuu{\sin x}{x}=1\,に帰着させる問題である. \\[.8zh] まず,\ \dlim{x\to\frac{\pi}{2}+0}\tan x=-\,\infty,\ \dlim{x\to\frac{\pi}{2}-0}\tan x=\infty\ (右図)より,\ \dlim{x\to\frac{\pi}{2}}\tan xは存在しない. \\[1zh] ただし,\ \dlim{x\to\frac{\pi}{2}}\zettaiti{\tan x}=\infty\,であるから,\ \dlim{x\to\frac{\pi}{2}}(2x-\pi)\zettaiti{\tan x}\,は0\times\infty\,の不定形である. \\[1zh] ここで,\ \infty=\bunsuu{1}{0}\,と考えると,\ 0\times\infty\,の不定形と\,\bunsuu00\,の不定形は本質的に同じである. \\[.6zh] 結局,\ 本問も\,\bunsuu00\,の不定形の一種と考えられ,\ 三角関数の極限の公式に帰着する. \\[.6zh] 置換後,\ 公式\,\tan\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-t\right)=\bunsuu{1}{\tan t}\,を適用する. \\[1zh] なお,\ \tan\bunsuu{\pi}{2}\,の値が存在しないので,\ \tan\,の加法定理で直接この公式を導くことはできない. \\[.6zh] ,の不定形である.\ 三角関数の合成を行った後に置換するのがベストである(本解). \\[.6zh] 先に置換したのが別解である.\ 置換後,\ 合成するか加法定理を適用するかの選択に迫られる. \\[.2zh] \infty\times0=\bunsuu00\,の不定形である.\ \ t\to0とするため,\ \bunsuu{1}{2x}=t\,と置換する. \\[.6zh]