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数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が漸化式$a_}定義されるとき, $\dlim{n\to\infty}\bunsuu{a_n}{b_n}$を求めよ. \\
漸化式と極限\maru2 連立型と隣接3項間型}
係数を比較すると $1$の等比数列であるか 初項$a_1+2b_1=3$,\ 公比6の等比数列であるから
$\{a_{n+1}+a_n\}$は,\ 初項$a_2+a_1=9$,\ 公比6の等比数列であるから 
$\{a_{n+1}-6a_n\}$は,\ 初項$a_2-6a_1=2$,\ 公比$-\,1$の等比数列であるからを連立して$a_{n+1}$を消去すると 
連立漸化式は,\ \bm{等比数列型a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_n+\alpha b_n)}に帰着させるのが基本である. \\[.2zh] この式のa_{n+1},\ b_{n+1}\,に元の2式を代入し,\ 成り立つような\,\alpha,\ \beta\,を求める. \
(\alpha,\ \beta)が2組求まるから等比数列型漸化式を2つ作成でき,\ それを解いた後連立する. \\[.2zh] 極限計算を見越すと,\ 6\cdot6^{n-1}=6^n\,としてしまわないほうがよい. \\[.2zh] \{r^n\}\,を含む分数の極限では,\ \bm{分母の公比の絶対値が最大の項で分母分子を割る}のであった. \\[1zh] 連立漸化式は,\ \bm{一方を消去すると隣接3項間型漸化式}に帰着する. \\[.2zh] 通常,\ 連立漸化式は誘導がつくことが多いが,\ 隣接3項間型の解法は暗記必須である. \\[.2zh] 隣接3項間型への帰着は回りくどくなるが,\ 連立漸化式の解法を知らなくても解けるメリットがある. \\[.2zh] 隣接3項間型は,\ a_{n+2}=x^2,\ a_{n+1}=x,\ a_n=1とした特性方程式を解いて2解\,\alpha,\ \beta\,を求める.
等比数列型漸化式\帰着する. 
それぞれ解いた後,\ 差をとってa_{n+1}\,を消去すればよい.で定義されるとき,\ $\dlim{n\to\infty}\bunsuu{a_n}{a_{n+1}}$を求めよ.} \\
$は初項$a_2-3a_1=2$,\ 公比3の等比数列であるから \\[.2zh] \phantom{両辺を$3^{n+1}$で割ると}  公差$\bunsuu29$の等差数列であるから \
特性方程式の解が重解となる隣接3項間型漸化式である(x^2-6x+9=0より\,x=3). \\[.2zh] 等比数列型漸化式が1つしか作れないので,\ 連立してa_{n+1}\,を消去することができない. \\[.2zh] そこで,\ \bm{指数型漸化式a_{n+1}=pa_n+r^n}\,として解くことになる. \\[.2zh] この型は,\ 両辺を\bm{r^{n+1}\,で割る}と,\ 基本的な型に帰着するのであった. \\[.2z