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\{r^n\}\,は一見すると無限大に発散しそうだが,\ rの値によって極限が変化する. \\[.2zh] \rei\ \ 2^n\,→\,\infty,\ \ \left(\bunsuu12\right)^n\,→\,0,\ \ (-\,2)^n:振動する \\[.6zh] 前ページの証明はr>1と0<r<1のときのみなので,\ ここで改めて全体を確認しておく. \\[1zh] 正負の処理が面倒な場合,\ 絶対値をつけて極限を求めると楽になる. \\[.2zh] 実際,\ 0<r<1のときと-1<r<0のときを場合分けなしで証明できる. \\[1zh] r>1のとき r=1+h\ (h>0)とおくと r^n=(1+h)^n=\kumiawase n0+\kumiawase n1h+\cdots\geqq1+nh \\[.2zh] \phantom{r>1のとき} \dlim{n\to\infty}(1+nh)=\infty より \dlim{n\to\infty}r^n=\infty (追い出しの原理) \
r=-\,1のとき -1,\ 1,\ -\,1,\ 1となるから振動する. \\[1zh] \phantom{r<-\,1のとき} しかし,\ r^n\,の符号は交互に正負となるから,\ \{r^n\}は振動する. \\[1zh] 教科書などには\ 「r\leqq-\,1のとき振動する」とまとめて書いてある. \\[.2zh] しかし,\ 応用上次の違いが重要になるので,\ \bm{r=-\,1とr<-\,1を分けて考える}のがよい. \\(収束する) \(発散する) \\[.6zh] \{r^n\}の極限は,\ 事実上5つに分類できるわけである.
$r^n$を含む極限計算における主な変形が2つある.\ 整式や分数式の極限計算と同様である. \\[.5zh] \centerline{\begin{tabular}{l}
\maru1\ \ \textbf{\textcolor{red}{公比の絶対値が最大の項でくくり出す.}} \\[.3zh] \maru2\ \ \textbf{\textcolor{red}{分母の公比の絶対値が最大の項で分母・分子を割る.}
\bm{公比の\dot{絶}\dot{対}\dot{値}が最大の項である5^n\,をくくり出す.} \\[.2zh] 本問は,\ 発散速度が5^n\gg2^n\,であることを意味している. \\[.2zh] n→\,\infty の世界では,\ 5^n\,に比べると2^n\,は無同然なのである.
\bm{分母の公比の絶対値が最大である5^n\,で分母・分子を割る.}
指数部分が異なるものが混在してわかりにくいので,\ まず\bm{指数部分をnに統一}した. \] そして,\ \bm{分母の公比の絶対値が最大の項(\ruizyoukon 5\,)^n\,で分母分子を割る}(2<\ruizyoukon5<3). \\[.2zh] これで分母は1に収束するが,\ 分子はまだ\,\infty-\infty\,の不定形である. \\[.2zh] そこで,\ \bm{公比の絶対値が最大の項\left(\bunsuu{4}{\ruizyoukon5}\right)^nをくくり出す}と,\ \bunsuu{\infty(2-3\cdot0)}{1-\bunsuu12\cdot0}=\infty\ と求まる.