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次の無限級数が発散することを示せ. 無限級数が発散することの証明}}無限級数\re{無限級数\retuwa{n=1}{\infty}a_n\,が\underline{発散}する}}$ \textbf{(\maru1の対偶)}
\maru1は,\ \textbf{\textcolor{ForestGreen}{無限級数$\bm{\retuwa{n=1}{\infty}a_n}$が収束するための必要条件}}が$\bm{\textcolor{magenta}{\dlim{n\to\infty}a_n=0}}$であることを意味する. \\\\
\maru2は,\ \textbf{\textcolor{blue}{発散の判定法}}として利用できる. \\[.2zh] つまり,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{\dlim{n\to\infty}a_n\neqq0}$さえ示せば,\ 無限級数が発散することを示したことになる.}} \\\\
\textbf{\textcolor{red}{逆}}「$\dlim{n\to\infty}a_n=0\ \Longrightarrow$\ $\retuwa{n=1}{\infty}a_n$が収束」は\textbf{\textcolor{red}{成り立たない}}ことに注意.\ (3)が反例である. \\\\\\[1zh] (3)\ \ 一般項を$a_n$,\ 初項から第$n$項までの部分和を$S_n$とする. この無限級数は\bm{発散する.}$} \
(1)\ \ 部分和S_n\,を求めることはできないタイプである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ その場合でも,\ \dlim{n\to\infty}a_n\neqq0\ によって発散することを示せる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ どう発散するのか(\pm\,\infty,\ 振動)はわからないが,\ 収束しないことだけは確実というわけである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 分母は初項2,\ 公差3の等差数列なので,\ 第n項は2+(n-1)\cdot3=3n-1である. \\[1zh] (2)\ \ a_n\,は,\ 1+\left(-\bunsuu23\right)+\bunsuu35+\left(-\bunsuu47\right)+\cdots\cdots\ と考えて求める必要がある. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 符号の影響で\dlim{n\to\infty}a_n\,が求めづらい場合,\ \dlim{n\to\infty}a_n\neqq0\ \Longleftrightarrow\ \dlim{n\to\infty}\zettaiti{a_n}\neqq0\ を利用するとよい. \\[1zh] (3)\ \ 明らかに\dlim{n\to\infty}a_n=0であるから,\ \maru2で発散を示すことはできず,\ 別法が必要になる. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ 本問は部分和S_n\,が求まるタイプであったから,\ 普通に\,\dlim{n\to\infty}S_n\,を計算すれば済む. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ 問題が「発散を示せ」なら間違えないが,\ 「収束・発散を調べよ」だと「収束」と間違える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 先に述べたように,\ \dlim{n\to\infty}a_n=0だからといって収束する保証はないことに注意してほしい.