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初項1,\ 公比2の無限等比級数$1+2+4+8+\cdots\cdots$は,\ 明らかに発散する. \\[.2zh] 一応確認すると,\ $\dlim{n\to\infty}S_n=\dlim{n\to\infty}\bunsuu{1(2^n-1)}{2-1}=\infty$である. \\[.5zh] ところが,\ 次のような計算をすると収束してしまう.
これは,\ \textbf{\textcolor{red}{無限級数では安易に2式を足したり引いたりしてはいけない}}ことを意味している. \\[.2zh] 「そもそもそんなことは考えもしないから大丈夫」などと思わなかっただろうか. \\[.2zh] しかし,\ 数Iで学習した循環小数を分数に変換する方法を思い出してほしい. \\[1zh] 循環小数は無限級数である.\ 例えば,\ $0.111\cdots\cdots=0.1+0.01+0.001+\cdots\cdots$である. \\[.2zh] 実は,\ 安易にやってはいけないことを数Iの時点でしてしまっていたのである. \\[.2zh] 循環小数を分数に変換できないと困るので,\ 仕方なく許可されていただけである. \\[.2zh] 数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I学習者は,\ \textbf{\textcolor{red}{循環小数を無限等比級数の和として厳密に求める}}ことになる. \\\\\\
次の循環小数を整数または分数に直せ. \
(1)\ \ $0.\dot{9}=0.9+0.09+0.009+\cdots\cdots$は,\ 初項$0.9$,\ 公比$0.1$の無限等比級数である
初項a,\ 公比rの無限等比級数は,\ \zettaiti r<1のとき収束し,\ その和は\,\bunsuu{a}{1-r}\,であった. \\[.6zh] 本問は,\ まさに\bm{\textcolor{cyan}{0.999\cdots\cdots=1}}であることを示している. \\[.2zh] 0.999\cdots\cdots\,は1より小さい数ではなく,\ 1そのものなのである.\ このことの納得は容易ではない. \\[.2zh] 0.111\cdots\cdots=\bunsuu19\,は納得できるのに,\ 0.999\cdots\cdots=1は納得できないという人も多いだろう. \\[.6zh] 無限級数の和として厳密に求めても納得できない人は,\ 大学でそもそも実数とは何かを学んでほしい.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\\