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次の極限を求めよ.\ ただし,\ $f(x)$は微分可能な関数とする. \\[1zh] {微分係数の定義を利用する極限}}}} \\\\[.5zh] 本来,\ 極限計算(右辺)の結果として微分係数$f'(a)$\ (左辺)が得られる. \\[.2zh] ただし,\ 微分公式を用いると,\ 微分係数の定義を用いなくても$f'(a)$を求めることができる. \\[.2zh] このことを利用し,\ $\bm{\textcolor{red}{f'(a)から逆に\dlim{x\to a}\bunsuu{f(x)-f(a)}{x-a}\,を求める}}$パターンがある. \\\\
微分係数の定義の利用を考えるべき問題には,\ 次のような目安がある. \\[.5zh] \maru1\ \ \textbf{\textcolor{ForestGreen}{$\bm{\bunsuu00}$の不定形}}である. $\left([1]も[2]も\,\bunsuu00\,の不定形だから\right)$ \\[.5zh] \maru2\ \ $\bm{\textcolor{ForestGreen}{f(x)-f(a),\ x-a,\ f(a+h)}}$などの形があり,\ 微分係数の定義を匂わせる. \\[.5zh] \maru3\ \ \textbf{\textcolor{ForestGreen}{三角関数や指数・対数関数}}が含まれる. \\[.5zh] \maru4\ \ 問題が$f(x)$などで表されており,\ そもそも\textbf{\textcolor{ForestGreen}{具体的な関数が不明}}である. \\\\
三角関数の極限公式\ $\dlim{x\to0}\bunsuu{\sin x}{x}=1$も,\ 実は$\dlim{x\to a}\bunsuu{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$の形をしている. \\[.5zh] よって,\ $\dlim{x\to0}\bunsuu{\sin x}{x}=1$を用いる全ての問題が微分係数の定義を利用する型の1つといえる. \\[.2zh] このことからも,\ 微分係数の定義の利用の重要さや応用性がわかるはずである. \\\\
[1]において$f(x)=e^x,\ a=0$や$f(x)=\log x,\ a=1$とすると,\ 次の準公式も導かれる. \\[.5zh] これらを暗記しておくと,\ 極限の問題で方針が立てやすくなる.\ 応用問題では無断使用も可能である. \\[1zh] また,\ 微分係数f'(a)は,\ 図形的には「f(x)のx=aにおける接線の傾き」である. \\[.2zh] \begin{array}{ll}
\dlim{x\to0}\bunsuu{\sin x}{x}=1の図形的意味 & \bm{「f(x)=\sin xのx=0における接線の傾きが1」} \\[1zh] \dlim{x\to0}\bunsuu{e^x-1}{x}=1の図形的意味 & \bm{「f(x)=e^x\,のx=0における接線の傾きが1」} \\[1zh] \dlim{x\to1}\bunsuu{\log x}{x-1}=1の図形的意味 & \bm{「f(x)=\log xのx=1における接線の傾きが1」}
\end{array} \\\\
整式や無理式の場合,\ 微分係数の定義を使わずとも,\ 約分や有理化により\,\bunsuu00\,の不定形を解消できる. \\[.2zh] 不定形解消の手段が少ない三角・指数・対数関数で,\ 微分係数の定義の利用が特に有効なのである. \\[.2zh] \bunsuu00\,の不定形であることやe^x\,があることから,\ 微分係数の定義の利用を考えなければならない. \\[.2zh] 準公式\,\dlim{x\to0}\bunsuu{e^x-1}{x}=1\,を覚えていれば,\ 本解のような発想が可能になる. \\[.2zh] 分子に-1+1を加え,\ \bunsuu{f(x)-f(a)}{x-a}\,の形を無理矢理作り出すわけである. \\[.6zh] 上では,\ g(x)=e^{-x}\,とし,\ \dlim{x\to0}\bunsuu{e^{-x}-1}{x}=\dlim{x\to0}\bunsuu{g(x)-g(0)}{x-0}=g'(0)\,と考えて求めている. \\[.6zh] 公式は\,\bm{\dlim{○\to a}\bunsuu{f(○)-f(a)}{○-a}=f'(a)}\,のようにとらえておくことも重要で,\ 次の解答が可能になる. \\[.8zh] \dlim{x\to0}\bunsuu{e^{-x}-1}{x}=\dlim{(-x)\to0}\bunsuu{e^{-x}-e^{-0}}{(-\,x)-0}\cdot(-\,1)=f'(0)\cdot(-\,1)=-\,1 \\\\
本解の方法が技巧的と感じる場合,\ \bm{分子全体をf(x)と考える}のがオススメである(別解1). \\[1zh] 別解2では,\ 分母分子にe^x\,を掛けている. \dlim{x\to0}\bunsuu{e^x-e^{-x}}{x}=\dlim{x\to0}\bunsuu{e^x-\bunsuu{1}{e^x}}{x}=\dlim{x\to0}\bunsuu{e^{2x}-1}{x}\cdot\bunsuu{1}{e^x} \\\\
別解3は\,\dlim{x\to0}\bunsuu{e^x-1}{x}=1\,を公式として用いたもので,\ 当然最速である. \\[.6zh]}
\bunsuu00\,の不定形である.\ \dlim{x\to0}\bunsuu{\log(1+x)}{x}=1,\ \dlim{x\to0}\bunsuu{\tan x}{x}=1\,を覚えていれば,\ 自然に解答できる. \\[.6zh] \bunsuu00\,の不定形で分子がf(x)-f(a)なので,\ x-aを分母分子に掛けて微分係数の定義に帰着させる. \
対数の性質\,\log\bunsuu MN=\log M-\log Nを適用すると,\ \dlim{x\to a}\bunsuu{f(x)-f(a)}{x-a}\,に帰着する.
}次の極限値を$a,\ f(a),\ f'(a),\ f'(0)$を用いて表せ.\ $f(x)$は微分可能な関数とする. \\[1zh] 具体的な関数が不明なので,\ 微分係数の定義に帰着させることを考える. \\[.2zh] f(a+○)\,の形があるから,\ \bm{\dlim{○\to0}\bunsuu{f(a+○)-f(a)}{○}=f'(a)}\,の形への変形を目指す. \\[.2zh] そのために,\ \bm{分子に-f(a)+f(a)\ を加える.}\ やや技巧的なので,\ 一度は経験が必要だろう. \\[.2zh] ○の部分が一致するように分母を調整し,\ つじつまを合わせる. \\[1zh] 本解の方法が技巧的と感じる場合,\ やはり\bm{分子全体をF(x)と考える}ことが有効である. \\[.2zh] x\to aのときF(a)=0より,\ \dlim{x\to a}\bunsuu{F(x)-F(a)}{x-a}\ に変形することができる. \\[.6zh] 後はF'(a)を計算すればよいが,\ F'(x)は\bm{合成関数の微分}になることに注意が必要である. \\[.2zh] F'(x)=f'(a+2x)\cdot(a+2x)’-f'(a-3x)\cdot(a-3x)’=2f'(a+2x)+3f'(a-3x) \\[1zh] 本問は具体的な関数で出ることも多い.\ 例としてf(x)=\sin xとしてみると,\ 次のようになる. \\[.2zh] 分子に-af(a)+af(a)を加えて,\ 微分係数の定義の形を目指す. \\[.2zh] 1つ目の極限は,\ 因数分解と約分で不定形が解消される.\ 2つ目の極限が微分係数の定義である. \\[.2zh] 前問と同様,\ f(x)=\sin xにしてみると,\ 次のようになる. \\[.2zh] 分子に-f(0)+f(0)を加えて,\ 微分係数の定義の形を目指す. \\[.2zh] 2つに分け,\ \bm{\dlim{○\to a}\bunsuu{f(○)-f(a)}{○-a}=f'(a)}\ の形に変形する.