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∫|logx|dx ∫|√3sinx+cosx|dx ∫|√(x^4-2x^2+1)|dx
次の定積分を計算せよ. 絶対値付き関数の定積分}}}} \\\\[.5zh] 絶対値付き関数は,\ 絶対値をはずしてからでなければ積分できない. \\[.2zh] 絶対値の基本通り,\ \textbf{\textcolor{ForestGreen}{中身が正ならそのまま,\ 負ならマイナスをつけてはずす.}} \\[.2zh] このとき,\ \textbf{\textcolor{red}{積分区間を分割する}}ことを忘れてはならない.
積分区間\ \bunsuu1e\leqq x\leqq e\,において,\ \log xが正か負かを考える.
\dint{}{}\log x\,dx=x\log x-x+C\ を公式として利用した.
積分計算そのものより,\ 絶対値を正しくはずせるかが問われている. \\[.2zh] つまり,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I}の三角関数の基本(特に三角不等式)が身についているかが問われることになる. \\[.2zh] 方程式・不等式では,\ \bm{角が同じ\,\sin\,と\,\cos\,の1次の和は三角関数の合成を行う}のであった. \\[1zh] 積分計算は,\ 元の式で行ってもよいし(本解),\ 合成後の式で行ってもよい(別解).
まず,\ 根号内が因数分解できることに気付かなければならない. \\[.2zh] 一般に,\ \bm{\ruizyoukon{X^2}=\zettaiti{X}}\ であった(2乗の根号をはずすと絶対値がつく). \\[.2zh] よって,\ 絶対値付き関数の定積分に帰着する