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∫√(9-x^2)dx ∫√(16-x^2)dx ∫1/√(4-x^2)dx ∫√x(2-x)dx
次の定積分を計算せよ.{特殊な置換積分\maru1:$\bm{\ruizyoukon{a^2-x^2}\ を含む定積分}$}}}} \\\\[.5zh] これらの不定積分は(高校範囲では)求めることができない. \\[.2zh] しかし,\ 定積分ならば特殊な置換をすることで求めることができる. \\[.2zh] $\bm{\textcolor{blue}{\ruizyoukon{a^2-x^2}\ を含む定積分}}は,\ \bm{\textcolor{red}{x=a\sin{\theta}}}\ とおいて\bm{\textcolor{red}{置換積分}}する.$ \\[.2zh] \textbf{\textcolor{magenta}{置換によって積分区間が変わる}}ことも忘れないようにしよう. \半径3の円の面積の$\bunsuu14$}であるから
ここでは丁寧に記述したが,\ 実際には可能な限り簡潔な記述で素早く求ればよい. \\[.2zh] 例えば,\ 3行目は\ \ruizyoukon{9-x^2}=3\zettaiti{\cos\theta}=3\cos\theta\ くらいの記述で十分だろう. \\[.2zh] このとき\ \ruizyoukon{X^2}=\zettaiti X\ に注意を要するが,\ 積分区間を考慮すると結局絶対値ははずせる. \\[.2zh] xに対応する\ \theta\ は1つではないが,\ xと\,\theta\,が1対1で対応する\ -\bunsuu{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}\ で考えればよい. \\[.6zh] x=3\cos\theta\ でも積分できるが,\ dx=-3\sin\theta\,d\theta,\ \ \bunsuu{\pi}{2}\ →\ 0\ となるなどいろいろ鬱陶しい. \\[.6zh] \cos^2\theta\,は,\ 2倍角の公式\,\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\ の逆で次数を下げて積分するのであった. \\[1zh] 実は,\ 本問は\ \bm{\dint{0}{3}\ruizyoukon{9-x^2}\,dx\ の図形的意味を考えて瞬殺しなければならない}(別解). \\[.8zh] y=\ruizyoukon{9-x^2}\ の両辺を2乗して整理すると,\ \bm{x^2+y^2=9\ (y>0)}\ となる. \\[.2zh] これは半径3の円の上半分を表す方程式であるから,\ 本問の図形的意味は右上図の面積である. \\[.2zh] どちらの解法が有利かは火を見るより明らかである. \\[.2zh] \bm{\textcolor{blue}{\dint{}{}\ruizyoukon{a^2-x^2}\,dx\ 型の定積分は,\ 必ず円の面積の一部とみて求めよう.}}
\求める定積分は,\ 右図の面積に等しい.
本問も\bm{円の面積の一部}とみるべきなのは明らかである.\ 扇形と直角三角形の和として求められる. \\[.2zh] 扇形の中心角は必ず綺麗な角度になる.\ そうでないものは高校範囲で求められないからである. \\[.2zh] 中学生的に円の\,\bunsuu13\,と考えてもよいし,\ 扇形の面積公式\ S=\bunsuu12r^2\theta\,を用いてもよい. \\[.6zh] 直角三角形は\,30\Deg,\ 60\Deg,\ 90\Deg\,なので辺の比は\,1:\ruizyoukon3:2であり,\ 高さは底辺2の\ruizyoukon3\,倍の2\ruizyoukon3\,である.
円や簡単な図形ではないので,\ 普通に置換積分で求めるしかない.
型は,\ 根号内を平方完成すると\dint{}{}\ruizyoukon{a^2-x^2}\,dx\,型に帰着する.}} \\[1zh] \cos\theta\ は偶関数である.\ (偶関数)\times(偶関数)=(偶関数)より,\ \cos^2\theta\,も偶関数である. \\[.2zh] 偶関数f(x)の積分区間が対称な定積分なので,\ \dint{-a}{a}f(x)\,dx=2\dint{0}{a}f(x)\,dx\ を利用する. \\[1.5zh] \dint{}{}\ruizyoukon{a^2-x^2}\,dx\ に帰着するということは,\ 結局は\bm{円}であるということである. \\[.8zh] よって,\ 図形的意味を考えて求めるべきである(別解).
\end{array}}\right]$}} \\\\\\\\
最後に大学生用の不定積分の公式を紹介しておく.
意義と意味を理解できる上級者用である.\ 普通の高校生は混乱するだけなので無視して欲しい. \\[.2zh] \maru1の定積分は置換x=a\sin\theta\,で即求まるし,\ \maru2は円とみなせるので公式を知らなくても損はしない. \\[1zh] y=\sin x\left(-\bunsuu{\pi}{2}\leqq x\leqq\bunsuu{\pi}{2}\right)の逆関数を逆正弦関数(アークサイン)といい,\ x=\arcsin yと表す. である.