検索用コード
∫sin^2mxdx ∫cos^22mxdx ∫sinmxsinnxdx ∫cosmxcosnxdx ∫sinmxcosnxdx ∫sinmxcosmxdx
I_{m,\ n}=\dint{0}{\pi}\cos mx\cos nx\,dx,\ \ J_{m,\ n}=\dint{-\pi}{\pi}\cos mx\cos nx\,dx\ (m,\ n:整数)$を求めよ. \\
三角関数の積分\maru8:文字を含む三角関数の積の定積分は偶関数
三角関数の積の積分は,\ \bm{積和の公式で和の形にすると1次式置換型に帰着する.} \\[.2zh] ただし,\ \bm{\textcolor{blue}{文字を含むときは分母が0になる場合を分けて考えなければならない.}} \\[.2zh] 本問では,\ 分母にくるm+nとm-nがそれぞれ0になるか否かで4つに場合分けする必要がある. \
積分後の代入時に注意すべきは,\ \bm{\sin k\pi=0\ (k:整数)}となることである. \\[.2zh] 具体的に言えば,\ \cdots\cdots=\sin(-2\pi)=\sin(-\pi)=\sin0=\sin\pi=\sin2\pi=\cdots\cdots=0である. \\[.2zh] m,\ nは整数であるから,\ m+n,\ m-n,\ 2n,\ -2nも整数である. \\[.2zh] よって,\ \sin(m+n)\pi=0,\ \sin(m-n)\pi=0,\ \sin2n\pi=0,\ \sin(-2n\pi)=0である. \\[1zh] J_{m,\ n}は\bm{積分区間が対称}であるから,\ \bm{\textcolor{blue}{偶関数・奇関数の性質}}が利用できる. \\[.2zh] f(-x)=f(x)を満たすならばf(x)は偶関数であり,\ \dint{-a}{a}f(x)\,dx=2\dint{0}{a}f(x)\,dx\ が成立する. \\[.8zh] \cos(-\theta)=\cos\theta\ を考慮すると,\ 結局J_{m,\ n}=2I_{m,\ n}\,となる. \\[1zh] 本問ではm,\ nを整数としたが,\ \bm{m,\ nを自然数}とする出題も多い. \\[.2zh] このときm+n\neqq0なので,\ m-n=0とm-n\neqq0,\ つまりm=nとm\neqq nの場合分けで済む.
(m,\ n:整数)$を求めよ.{m+nが偶数}{m-nも偶数m+nが奇数{m-nも奇数}であり,\ このとき$ nx$は奇関数}である.
\cos k\pi\ (k:整数)は\,\sin k\pi=0\,のように単純にはいかず,\ \bm{kが偶数か奇数かで値が変わる.} \\[.2zh] \bm{\textcolor{cyan}{kが偶数}}のとき 
\bm{\textcolor{cyan}{kが奇数}}のとき 
よって,\ \bm{m+nとm-nがそれぞれ偶数か奇数かで場合分けする必要が生じる.} \\[.2zh] しかし,\ 実は\bm{m+nとm-nの偶奇は一致する.} \\[.2zh] 和m+nが偶数となるのは(m,\ n)=(偶,\ 偶),\ (奇,\ 奇)のときで,\ このとき差m-nも偶数となる. \\[.2zh] 和m+nが奇数となるのは(m,\ n)=(偶,\ 奇),\ (奇,\ 偶)のときで,\ このとき差m-nも奇数となる. \\[.2zh] 結局,\ \text{(i)}では\bm{m+nが偶数か奇数かで場合分けすれば済む.} \\[.2zh] 2n,\ -2nは常に偶数であるから,\ \cos2n\pi=\cos(-2n\pi)=1である. \\[1zh] 最終的に\,m\neqq\pm\,nかつm+nが奇数の場合以外は0となるので,\ できればこれらを全てまとめたい. \\[.2zh] \text{(ii)と(iv)}はm+n=0であるから,\ これはm+nが偶数のときに含まれる. \\[.2zh] また,\ \text{(iii)}のm=nのときm+n=2nより,\ これもm+nが偶数のときに含まれる. \\[.2zh] 以上から,\ 最終的な答えもm+nが偶数か奇数かだけで場合分けしておけば済む. \\[.2zh] (m+nが奇数ならば自動的にm\neqq\pm\,nである) \\[1zh] f(-x)=-f(x)を満たすならばf(x)は奇関数であり,\ \dint{-a}{a}f(x)\,dx=0が成立する.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\\\\\
以上のように導かれた事実のうち,\ 以下のものは応用上特に重要であり,\ 記憶に値する. \\[1zh] {\large $\bm{\textcolor{magenta}{m,\ nが\,\underline{自然数},\ m\neqq n}\,のとき}$ \
要するに,\ \bm{異なる三角関数の積を区間幅2\pi\,で積分すると0,\ 同じ三角関数の場合は\,\pi}\,になる. \\[.2zh] \bm{[0→2\pi]のように区間幅が\,2\pi\,でさえあれば,\ [-\pi\,→\,\pi]に限らず同じ値になる}ことも重要である. \\[.2zh] \sin x,\ \cos xの最短周期は,\ 言うまでもなく\,2\pi\,である. \\[.2zh] 一般に,\ 式と図形は逆の関係にあるから,\ 式をx→kxとすると図形的にはx方向に\,\bunsuu1k\,倍される. \\[.2zh] よって,\ \sin kx,\ \cos kxの最短周期は\,\bunsuu{2\pi}{k}\,となる. \\[.6zh] これはその整数倍である2\pi\,も周期としてもつことを意味し,\ それゆえ積分結果が一致するのである.