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∫sin2xcos2xdx ∫sin2xcos3xdx ∫sin^3xdx ∫cos^4xdx ∫1/(sin^2xcos^2x)dx ∫cos2x/(sinx-cosx)dx ∫xsinxcosxdx ∫xcos^3xdx 
次の積分を計算せよ.
三角関数の積分\maru2:倍角・積和の公式{2倍角の公式の逆}}{3倍角の公式の逆}}{積→和の公式}} 
\bm{積分では,\ 角を倍にしてでも次数を下げたり,\ 積を和にすることが重要である.} \\[.2zh] そのために公式の暗記が必須である.\ また,\ 次数下げ以外の目的で公式が必要になることもある. \\[1zh] \maru1\ \ \bm{2倍角の公式\ \sin 2x=2\sin x\cos x\ の逆}である. \\[1zh] \maru2\ \ \bm{2倍角の公式\ \cos2x=1-2\sin^2x,\ \ \cos2x=2\cos^2x-1\ の逆}である. \\[.2zh] \ \ 使用頻度が極めて高いので,\ \bm{この形でも暗記しておく}こと. \\[1zh] \maru3\ \ \bm{3倍角の公式\ \sin3x=-4\sin^3x+3\sin x,\ \ \cos3x=4\cos^3x-3\cos x\ の逆}である. \\[.2zh] \ \ \cos3x=4\cos^3x-3\cos x\ のオススメ語呂合わせ 「高三のヨーコ参上まだ未婚」 \\[.2zh] \ \ \cos3x\ さえ覚えておけば,\ \sin 3x\ は\ \cos\,→\,\sin とし,\ +-を逆にすればよい. \\[1zh] \maru4\ \ 積和の公式は,\ 理系ならば暗記すべきである.\ もし覚えていなかった場合,\ \bm{加法定理から導く}. \\[.2zh] \ \ 例えば,\ \sin\alpha\cos\beta\ を求めたければ,\ \sin(\alpha\pm\beta)\ から余分な\,\cos\alpha\sin\beta\,を消去する.
「1次式置換型」}である.
(1)\ \ 角が同じ\sin\,と\cos\,の積は,\ 2倍角の公式の逆を用いて次数を下げることができる. \\[1zh] (2)\ \ 角が異なる三角関数の積は,\ 積和の公式で和の形にする. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 角が負になることを避けるため,\ \cos3x\sin2x\,として公式を適用した.
(3)\ \ \sin x,\ \cos xの3乗は,\ 3倍角の公式の逆を用いて次数を下げる. \\[1zh] (4)\ \ \sin x,\ \cos xの2乗は,\ 2倍角の公式の逆を用いて次数を下げる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 4乗ならば,\ 2乗の2乗と考えて次数下げを2回行うと,\ 1次式置換型に帰着する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\sin^{偶数}x,\ \cos^{偶数}x}\ は,\ このように\bm{倍角の公式の逆を用いて次数を下げることを繰り返す.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この発想で,\ \sin^4x,\ \sin^6x,\ \cos^6x\ なども求めることができる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ なお,\ 奇数乗の場合は,\ 微分形接触型への変形を用いて偶数乗よりも楽に求められる(次ページ). \\[1zh] (5)\ \ 2倍角の公式の逆を用いると,\ 公式\ \dint{}{}\bunsuu{1}{\sin^2x}\,dx=-\bunsuu{1}{\tan x}+C\ に帰着する. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 応用性は劣るが,\ 本問は,\ 前ページで紹介した次の解法も捨てがたい.
\phantom{(1)}\ \ 答えが異なるように見えるが,\ 2倍角の公式\ \tan2x=\bunsuu{2\tan x}{1-\tan^2x}\ で変形すると一致する
\phantom{(1)}\ \ 積分の別解を考えると,\ \tan x-\bunsuu{1}{\tan x}=-\bunsuu{2}{\tan2x}\ のような面白い等式が得られることがある. \\[1.5zh] (6)\ \ 2倍角の公式\ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x\ を因数分解すると約分できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\cos2xと\cos x\pm\sin xが約分できる(相性がよい)}ことは覚えておきたい. \\[1zh] (7)\ \ 2倍角の公式の逆で次数を下げると\ (多項式)\times(三角関数)型となるから\bm{部分積分}する. \\[1zh] (8)\ \ 3倍角の公式の逆で次数を下げると\ (多項式)\times(三角関数)型となるから\bm{部分積分}する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ (\cos3x+3\cos x)を1つの関数と考えればよく,\ 展開する必要はない.