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∫x/(√(2x+3)-√3)dx ∫(x+1)√(2x-1)dx ∫x^3/√(x^2+1)dx ∫1/√(1-√x)dx
次の積分を計算せよ.
無理関数の積分}}}} \\\\[.5zh] $[1]$\ \ \textbf{\textcolor{cyan}{分母を定数にできる}}ならば,\ \textbf{\textcolor{red}{分母を有理化}}する. \\[1zh] $[2]$\ \ \textbf{\textcolor{cyan}{根号内が1次式}}ならば,\ \textbf{\textcolor{red}{根号を丸ごと置換する.}} \\\\\\
有理化すると約分でき,\ の\bm{「1次式置換型」}に帰着する. \\[1zh] 本問のように分母が定数になる場合,\ 有理化が有効である. \\[.2zh] 下のように有理化しただけで定数になる場合もあるし,\ 本問のように約分して定数になる場合もある.
逆に言えば,\ これら以外の場合は有理化しても意味がない.
根号内が1次式ならば,\ 根号を丸ごと置換するとxとdxがtのみの簡単な式で表せる. \\[.2zh] \ruizyoukon{ax+b}=t → ax+b=t^2 → x=\bunsuu{t^2-b}{a} → dx=\bunsuu{2}{a}\,dt \\[.6zh] 根号内が2次以上の式の場合は次のようになり,\ xとdxがtのみの簡単な式で表せない. \\[.2zh] \ruizyoukon{ax^2+b}=t → ax^2+b=t^2 → 2ax\,dx=2t\,dt → dx=\bunsuu{t}{ax}\,dt \\[.6zh] 結局,\ \bm{根号丸ごと置換は原則として根号内が1次式の場合のみに有効な手法といえる.} \\[.2zh] 最後,\ 因数分解する方向で整理した後,\ xの式に戻す. \\[.2zh] 他ですでに述べたが,\ 本問は\bm{2x-1で展開して1次式置換型に帰着させる}別解が簡潔である.
tの式f(t)をxで微分すると  (合成関数の微分) \\[.8zh] x^2+1=t^3\ の両辺をxで微分すると 2x=3t^2\cdot\bunsuu{dt}{dx}   よって 2x\,dx=3t^2\,dt \\[.8zh] (2)で述べたように,\ 根号内が2次以上の式の場合,\ 普通は根号丸ごと置換がうまくいかない. \\[.2zh] しかし,\ \bm{微分形接触型}ならば話は別である. \\[.2zh] 本問の場合,\ x^3=x^2\cdot xと考えると,\ x^2+1\,の微分形2xが接触しているとみなすことができる. \\[.2zh] よって,\ x^2+1=tと置換すると成功するが,\ ついでに根号丸ごと置換してもよいというわけである. \\[.2zh] 実際,\ 微分形xも含めてうまくdtに変換できる.
とおいても積分できるが,\ 二度手間になるので丸ごと置換して積分する. \