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∫1/(e^x+1)dx ∫e^(2x)/(1-e^x)dx ∫e^x/(e^x+1)^2dx ∫e^x(e^x+1)/(e^x+3)dx ∫1/(e^x-e^(-x))dx ∫1/(e^x+2e^(-x)+3)dx ∫1/(e^x+1)^2dx ∫e^(-x)/(e^x+1)dx 
次の積分を計算せよ.m{指数関数の積分}$}] 根本的に重要なのは,\ 次の事実1つである. \\[.5zh] \centerline{{\large $\bm{\textcolor{red}{e^{x}=t\ と置換すると,\ 必ずtのみの積分に帰着する.}}$}} \\[.5zh] ただし,\ この方法が常に最良であるとは限らない. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{magenta}{無理矢理微分形接触型に変形する解法}}が時としてかなり有効である.
本解が正攻法である.\ 分数関数の積分ではe^x+1=tとすべきであったが,\ 本問ではほぼ意味がない. \\[.2zh] e^x+1=tのときdx=\bunsuu{dt}{e^x}=\bunsuu{dt}{t-1}\ となり,\ \bunsuu{1}{e^x+1}\,dx=\bunsuu1t\cdot\bunsuu{1}{t-1}\,dt\ となるからである. \\[.8zh] 分母が因数分解できるタイプの分数関数は,\ \bm{部分分数分解}してから積分するのであった. \\[.2zh] \bunsuu{1}{(t+1)t}=\bunsuu{A}{t+1}+\bunsuu{B}{t}\ とおいて分母をはらうと \\[.8zh] 1=At+B(t+1)   t=-\,1としてA=-\,1,\ \ t=0としてB=1を得る. \\[.2zh] 常にe^x>0より,\ 絶対値ははずせる. \\[1zh] 本問は圧倒的に簡潔な別解1を習得しておきたい.\ 考え方が他の問題に通用する点でも重要である. \\[.2zh] \bm{分子を分母と相性のよい形に無理矢理変形した後に分割する}のである. \\[.2zh] ここで,\ 相性のよい形とは,\ \bm{分母と同じ形または分母を微分した形}である. \\[.2zh] 分母と同じ形ならば\bm{約分}できるし,\ 分母を微分した形ならば\bm{分子が分母の微分型}となる. \\[.2zh] 本問では,\ 分母と同じe^x+1およびその微分形e^x\,で分子を表すことを考える. \\[.2zh] 簡単にはいかないことが多いが,\ 本問は簡単である.\ e^x+1を作り,\ e^x\,でつじつまを合わせればよい. \\[1zh] \bm{分母分子にe^{-x}\,を掛ける}ことで一発で分子が分母の微分型に帰着させるうまい方法もある(別解2). \
分子の次数が分母の次数より高い場合は\bm{分子の次数を分母より低くする}のであった. \\[.2zh] 特に分子と分母の次数が同じ場合は,\ \bm{分子に分母と同じ形を作った後につじつまを合わせる}と速い. \\[.2zh] \dint{}{}\bunsuu{1}{1-t}\,dt=-\log\zettaiti{1-t}+C\ では-を忘れない(1次式置換型). \\[1.5zh] 目的のe^{2x}\,を作るため,\ 分母と同じ形1-e^xに-e^{x}\,を掛け,\ e^x\,を足してつじつまを合わせる(別解).
公式\
微分形接触累乗型\とみなせれば瞬殺である(別解).
別解では,\ (e^x+1)のほうでe^x+3\,を作り,\ つじつまを合わせる. \\[.2zh] e^x\,のほうでe^x+3\,を作ると二度手間になる.
\ とおいて分母をはらうと \\[.8zh] 1=A(t+1)+B(t-1)   t=1\,としてA=\bunsuu12,\ \ t=-\,1としてB=-\bunsuu12\ を得る. \\[1zh] 別解は経験がなければ難しい.\ まず分母分子にe^x\,を掛けた後,\ 分母を因数分解する. \\[.2zh] さらに,\ 分母と同じe^x+1,\ e^x-1,\ その微分e^x\,を組み合わせ,\ 約分・分割できるようにする. \\[.2zh] ただし,とすべきではない. \\[.8zh] さらに(1)と同じ変形を要するからである.\ 解答では,\ 約分後に直ちに分子が分母の微分型となる.
分母の因数に累乗がある場合,\ その因数の1次から最高次までを全て分母として分解するのであった. \\[.2zh] \bunsuu{1}{t^2(t-1)}=\bunsuu At+\bunsuu{B}{t^2}+\bunsuu{C}{t-1}\ として分母をはらうと 1=At(t-1)+B(t-1)+Ct^2 \\[.8zh] t=0としてB=-\,1,\ \ t=1としてC=1,\ \ t=2としてA=-\,1を得る. \\[1zh] 別解では,\ まず分母と同じ形をおくと,\ e^{2x}+2e^x\,が余分になる. \\[.2zh] そこで,\ e^{2x}+2e^x=e^x(e^x+2)=e^x\{(e^x+1)-1\}=e^x(e^x+1)-e^x\ を引く. \\[.2zh] \dint{}{}\bunsuu{e^x}{(e^x+1)^2}\,dx\,は(3)の微分形接触累乗型である. \\[1zh] t=0としてB=1,\ \ t=-\,1としてC=1,\ \ t=1としてA=-\,1 \\[1zh] 別解1では,\ 分母と同じ形e^x+1にe^{-x}\,を掛けるとe^xe^{-x}=1が余分になる. \\[.2zh] そこで,\ 1=(e^x+1)-e^x\ を引く. \\[1zh] 分子にe^{-x}\,があることを考慮すると,\ e^{-x}=t\,と置換するほうが楽である(別解2). \\[.2zh] e^{-x}\,の微分形e^{-x}\,が接触しているとみなせるからである. \\[1zh]