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∫(e^x+e^(-x))dx ∫cosx(sinx-x+1)dx ∫x/√(3-|x|)dx f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)
すべてのxに対してf(-\,x)=f(x)が成り立つとする.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $このとき,\ \dint{-a}{a}f(x)\,dx=2\dint{0}{a}f(x)\,dx\ が成り立つことを示せ.$ \\\\
\hspace{.5zw}(2)\ \ $すべてのxに対してf(-\,x)=-f(x)が成り立つとする.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $このとき,\ \dint{-a}{a}f(x)\,dx=0\ が成り立つことを示せ.$ \\[.5zh] 偶関数・奇関数の定積分}}}} (1)}\ \ ここで,\ 下線部の積分において$\textcolor{red}{x=-\,t}$とおくと 本問の結果は暗記しておき,\ 定積分計算において積極的に利用しなければならない.}{偶関数(y軸対称{奇関数(原点対称)\
証明では,\ まず\bm{積分区間を[-\,a,\ 0]と[0,\ a]に分割する.} \\[.2zh] 条件式\ f(-\,x)=f(x)\,を利用することを見越し,\ \bm{x=-\,tと置換する.}\ 当然,\ 積分区間が変わる. \\[.2zh] 次に,\ f(-\,x)=f(x)\ および定積分の性質\ \dint{a}{b}f(x)\,dx=-\dint{b}{a}f(x)\,dx\ を適用する. \\[1zh] さらに,\ 定積分の結果は積分変数によらないから,\ 積分変数をtからxに変えることができる. \\[.2zh] これを\maru1に代入することで与式が証明される.\ (2)も同様である. \\[1zh] 一般に,\ \bm{f(-\,x)=f(x)を満たす関数を偶関数},\ \ \bm{f(-\,x)=-f(x)を満たす関数を奇関数}という. \\[.2zh] f(-\,x)=f(x)は,\ 図形的にはxにおけるy座標と-xにおけるy座標が等しいことを意味する. \\[.2zh] つまり,\ y軸対称である.\ 代表的な偶関数には,\ x^2,\ x^4\,などのx^{(偶数)}\,や\cos xがある. \\[.2zh] f(-\,x)=-f(x)は,\ xにおけるy座標と-xにおけるy座標の正負が逆であることを意味する. \\[.2zh] つまり,\ 原点対称である.\ 代表的な奇関数には,\ x,\ x^3\,などのx^{(奇数)}\,や\sin x,\ \tan xがある. \\[1zh] 定積分は図形的には面積である.\ 図を見れば,\ 公式はほぼ自明であろう. \\[.2zh] y軸対称関数の[-\,a,\ a]の面積を求めたければ,\ [0,\ a]の面積を2倍すればよい. \\[.2zh] 原点対称関数の[-\,a,\ a]の面積は,\ [-\,a,\ 0]の面積と[0,\ a]の面積が打ち消し合って必ず0になる.
まず,\ \cos xが偶関数(y軸対称),\ x,\ \sin xが奇関数(原点対称)であることは常識である. \\[.2zh] これに加え,\ 次の知識\maru1~\maru3を用いて関数の偶奇を判別できる. \\[1zh] これらは,\ 偶関数・奇関数の定義を用いて容易に証明できる.\ 以下,\ h(x)=f(x)g(x)とする. \\[.5zh] \maru1\ \ f(x),\ g(x)が偶関数のとき,\ f(-x)=f(x),\ g(-x)=g(x)が成り立つ. \\[.2zh] \ \ h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=h(x)  \therefore\ \ h(x)は偶関数 \\[.5zh] \maru2\ \ f(x)が偶関数,\ g(x)が奇関数のとき,\ f(-x)=f(x),\ g(-x)=-g(x)が成り立つ. \\[.2zh] \ \ h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)\{-g(x)\}=-f(x)g(x)=-h(x)  \therefore\ \ h(x)は奇関数 \\[.5zh] \maru3\ \ f(x)が奇関数,\ g(x)が奇関数のとき,\ f(-x)=-f(x),\ g(-x)=-g(x)が成り立つ. \\[.2zh] \ \ h(-x)=f(-x)g(-x)=\{-f(x)\}\{-g(x)\}=f(x)g(x)=h(x)  \therefore\ \ h(x)は偶関数 \\[1zh] 本問は,\ 展開すると3つの関数に分割できる. \\[.2zh] \cos xは偶関数,\ \sin xは奇関数であるから,\ その積\cos x\sin xは奇関数である(x\cos xも同様). \\[.2zh] 奇関数の項は定積分すると0となるから無視してよい. \\[.2zh] 結局,\ 偶関数である\cos xを半分の区間で定積分して2倍すればよい. \\[.2zh] まともに計算するとそこそこ面倒な定積分だが,\ 偶関数・奇関数の性質を利用すると直ちに完了する. \\[.2zh] とにかく,\ \bm{\textcolor{blue}{積分区間が対称な定積分では偶関数・奇関数を常に意識する}}ことが重要である.
x^n\,や\sin xなどの基本的な関数やその積でない場合,\ 定義に従って関数の偶奇性を調べる. \\[.2zh] 要は,\,\bm{f(-x)を計算(xに-xを代入)してf(x)になれば偶関数,\ -f(x)になれば奇関数}である. \\[.2zh] 本問では,\ 一般に\ \zettaiti{-X}=\zettaiti{X}\ であることなども考慮し,\ 奇関数であることがわかる.
(1)では,\ 分割すると各関数が偶関数・奇関数となったが,\ 全体としては偶関数でも奇関数でもない. \\[.2zh] 逆に,\ \bm{個々の関数が偶関数・奇関数でなくても,\ 全体として偶関数・奇関数になる場合もある.} \\[.2zh] 本問もその場合の1つであり,\ e^x+e^{-x}\,を1つの関数とみなして考えるのが正解である. \\[1zh] 実は,\ 以下の事実があるので知っておくとよい. \\[.8zh] \maru1\ \ \bm{g(x)が何であれ,\ h(x)=g(x)+g(-x)は偶関数}になる.
\maru2\ \ \bm{g(x)が何であれ,\ h(x)=g(x)-g(-x)は奇関数}になる. \\[
この事実を利用すると,\ 偶関数・奇関数はいくらでも作り出すことができる. \\[.2zh] \dint{-1}{1}(e^x-e^{-x})\,dx=0\ となることも容易に予想できるだろう.