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y=f(x)の逆関数をy=g(x)とする.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $このとき,\ \dint{a}{b}f(x)\,dx+\dint{f(a)}{f(b)}g(x)\,dx=bf(b)-af(a)$\ が成り立つことを示せ. \\\\ \hspace{.5zw}(2)\ \ $y=\tan x\,\left(-\bunsuu{\pi}{2}\bunsuu{\pi}{2}\right)の逆関数は\ y=\tan^{-1}x\ と表される.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $\dint{1}{\ruizyoukon3}\tan^{-1}x\,dx\ を求めよ.$ \\ 逆関数を定積分することを考える.\ もしy=e^x\,なら,\ 逆関数y=\log x\ を普通に定積分すれば済む. \\[.2zh] しかし,\ 常に逆関数が容易に求められるとは限らないし,\ そもそも求められない場合もある. \\[.2zh] そのような場合にどうすべきかを示したのが本問である. \\[1zh] y=f(x)とy=g(x)が逆関数の関係にあり,\ y=g(x)の積分が難しい場合を考える. \\[.2zh] ここで,\ y=g(x)に対して\ x=g^{-1}(y)=f(y)\ である. \\[.2zh] そこで,\ \bm{x=f(y)\ と置換}すると,\ g(x)の積分をf(x)の積分に帰着させることができる. \\[.2zh] このとき,\ g(f(x))=f^{-1}(f(x))=x\ であるから,\ g(f(y))=y,\ g(f(a))=a,\ g(f(b))=b\ となる. \\[.2zh] yとf(y)の微分形の積の積分になり,\ \bm{部分積分}することでf(y)の積分に帰着する. \\[.2zh] 積分変数は自由に変更できるから,\ これをxに変えると等式が示される. \\[.2zh] この等式により,\ \bm{f(x)とg(x)の一方の積分が難しい場合,\ もう一方の積分に帰着できる}のである. \\\\ 特に,\ \,という条件を付けたときに次のような\bm{図形的意味}をもつ点が重要である. \\[.3zh] 逆関数がからむ定積分の問題の多くがこれを背景としている. \\[.5zh] $g(x)=\tan^{-1}x\ とすると,\ f(x)=\tan x\ 高校範囲では直接積分できないので,\ (1)の等式を適用してy=\tan xの積分に帰着させる. \\[.2zh] \tan x\,は,\ \bunsuu{\sin x}{\cos x}\ にした後,\ 「\bm{分子が分母の微分型}」として積分する. \\[.8zh] 別解は(1)の等式を使わない方法である. \\[.2zh] といっても,\ (1)の等式を導く過程を具体的な関数でなぞらえただけである.