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実数p>0のとき,\ \Gamma(p)=\dlim{t\to\infty}\dint{0}{t}x^{p-1}e^{-x}\,dx\ は収束する.\ このとき,\ 次の等式が成$ \\[.8zh] り立つことを示せ.\ ただし,\ \dlim{t\to\infty}t^{k}e^{-t}=0\ (k:定数)\ は既知とする.$ \\[1zh] $自然数nに対して     $自然数nに対して,\ (1)を繰り返し適用すると$ \\[.5zh] \bm{部分積分によって漸化式を作成}後,\ 極限をとるだけである. \\[.2zh] 導かれた漸化式は\bm{階比数列型}であるから,\ 次を順次適用すると一般項が求められる.. (1)はp>0で成り立つ等式であるから\Gamma(1)が最後である.  \textbf{\textcolor{blue}{階乗の実数への一般化}} \\[.5zh]   場合の数分野で学習した階乗は自然数$n$に対して定義されていた. \\[.2zh]   (2)より,\ ガンマ関数$\Gamma(p)$は,\ 自然数$n+1$を代入すると$n\kaizyou$となる. \\[.2zh]   よって,\ 逆に$\bm{実数pに対して\ \textcolor{red}{p\kaizyou=\Gamma(p+1)}\ と定義するのが自然}である.$ \\[.2zh]   こうして自然数の階乗を実数の階乗にまで一般化できる. \\[.2zh]   右辺の計算は単純にはできないが,\ $\ruizyoukon{\pi}$であることが知られている. \\[.2zh]   もはや,\ $-\bunsuu12\,人の並び方が\,\ruizyoukon{\pi}\ 通り$などと考えても意味はない(面白いけど).