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aを実数とする.\ 点(0,\ a)からy=xe^{-x}\ に引ける接線の本数を求めよ.$ \\   $接点の座標を   $よって,\ f(t)の増減表とグラフは次のようになる.$ 接点が不明な接線の問題では,\ まず\bm{接点を文字で設定して接線の方程式を作成}する. \\[.2zh] (0,\ a)を通るという条件を接線に反映させる(代入する)と,\ \bm{tについての方程式}\maru1が得られる. \\[.2zh] \bm{接点のx座標をtとおいた}のであるから,\ \maru1を解くと接点のx座標が求まるはずである. \\[.2zh] しかし,\ 実際に\maru1を解くことはできない. \\[.2zh] ここで,\ 求めたいのはあくまでも接線の本数であり,\ 接点や接線の方程式を求める必要はない. \\[.2zh] 通常は,\ \bm{接線の本数と接点の個数は1対1で対応}する. \\[.2zh] よって,\ 接点の個数さえわかればよく,\ それは\bm{\maru1の実数解の個数に等しい.} \\[.2zh] 結局,\ \bm{定数分離型の実数解の個数問題}に帰着し,\ y=t^2e^{-t}\ と\ y=aとの共有点の個数を調べる. \\[.2zh] 当然,\ 極限も調べる.\ 応用問題では,\ \dlim{t\to\infty}t^2e^{-t}=\dlim{t\to\infty}\bunsuu{t^2}{e^t}=0\ は断りなく用いてもよいだろう. \\[1zh] さて,\ 実際には,\ 常に接線の本数と接点の個数が1対1で対応するとは限らない. \\[.2zh] 関数によっては,\ 1本の接線に対して2個の接点をもつ二重接線(複接線)をもつ. \\[.2zh] しかし,\ 一般の関数が二重接線をもつ条件の議論は困難で,\ ほぼ出題されることはない. \\[.2zh] よって,\ 下線部程度の記述で十分である.\ 4次関数に限っては,\ 二重接線をもつものが出題されうる. aを0でない実数とする.\ 2つの曲線y=e^x\ および\ y=ax^2\ の両方に接する直線の本$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$数を求めよ.                            \ \ [東北大]$ \\   $ここで,\ \textcolor{red}{求める共通接線の本数は,\ \maru3の実数解の個数に等しい.}$ \\\ 共通接線の方程式を求めるには,\ \bm{両方の曲線の接線の方程式を求めてその一致条件を考える.} \\[.2zh] 接点が不明なので,\ それぞれの接点を文字でおいて接線の方程式を作成する. \\[.2zh] 接線y=ax+bと接線y=cx+dが一致する条件は,\ a=cかつb=dである. \\[.2zh] この2式を両方とも満たす必要があるから連立する.\ 消去が容易なtを消去する. \\[.2zh] すると\bm{sについての方程式}\maru3が得られるから,\ 定数aを分離する. \\[.2zh] \bm{\maru3の実数解1個に対し,\ \maru1よりtも1個存在し,\ すなわち対応する共通接線が1本存在する.} \\[.2zh] よって,\ \maru3の実数解の個数を調べることで,\ 共通接線の本数が求まることになる. \\[.2zh] 後はy=f(s)のグラフを図示してy=aとの共有点の個数を読み取るだけである. \\[.2zh] 定義域を確認し(分母\neqq0),\ さらに極限も調べた上で図示する.\ 後は,\ a\neqq0に注意して答える.   $\maru1,\ \maru2より \textcolor{red}{e^s=4a(s-1)}\ \ \cdots\maru3$ \\[1zh]   $y=4a(s-1)は\textcolor{red}{点(1,\ 0)を通る傾き4aの直線}である.$ \\[1zh]   $ゆえに,\ 点(1,\ 0)を通るy=e^s\,の接線の方程式は   $ここで,\ \textcolor{red}{求める共通接線の本数は,\ \maru3の実数解の個数に等しい.}$ \\\\ 本問は,\ 定数aの分離よりも,\ \maru3のようにして\bm{基本関数e^s\,と直線の共有点に帰着}させるのがよい. \\[.2zh] y=4a(s-1)は,\ s=1のときaの値によらずy=0となるから,\ 常に点(1,\ 0)を通る直線である. \\[.2zh] よって,\ \bm{点(1,\ 0)を中心に直線の傾き4aを変えて共有点の個数の変化を読み取る}ことになる. \\[.2zh] y=e^s\ と\ y=4a(s-1)\ が接するときが境目となるから,\ このときの傾き4aを求める. \\[.2zh] 接点の座標を文字でおいて接線の方程式を作成し,\ (1,\ 0)を通る条件を考えればよい. \\[.2zh] 傾き4a=e^2\,のときに接する(1個)ことがわかる.\ さらに傾きが大きくなると2個の共有点をもつ. \\[.2zh] 接線の傾きよりも小さく,\ かつ正の傾きならば共有点なし,\ 負の傾きならば1個の共有点をもつ.