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関数\ f(x)=\bunsuu{ax^2+bx+c}{x^2+2}\ がx=-\,2で極小値\ \bunsuu12,\ x=1で極大値2をとるとき,$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$定数a,\ b,\ cの値を求めよ.$                   [横浜市立大] \\   $f'(x)=0\ とすると x=-\,2,\ 1$ \\\\   増減表が下のようになり,\ 確かに\textcolor{red}{$x=-\,2で極小値\ \bunsuu12,\ x=1で極大値2をとる.$} \\\\ 関数が数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の範囲になっただけで,\ 根幹は数\text{I\hspace{-.1em}I}と全く同じである. \\[1zh] \bm{x=aで極値をもつための必要条件が\ f'(a)=0}\ である. \\[.2zh] 十分条件ではないことに注意.\ つまり,\ \bm{極値をもつ\ \Longrightarrow\ f'(a)=0\ だが,\ 逆は成り立たない.} \\[.2zh] 例えば,\ f(x)=x^3\ はf'(0)=0だが,\ x=0で極値をもたない. \\[.2zh] \bm{必要十分条件は「f'(a)=0\ かつ\ x=aの前後でf'(x)の符号が変化」}なのである. \\[1zh] 商の微分の公式\ \left\{\bunsuu{f(x)}{g(x)}\right\}’=\bunsuu{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\ を適用して微分する. \\[1zh] 条件「x=aで極値p」は,\ \bm{「f(a)=p,\ f'(a)=0」}という2つの数式で表現できる. \\[.2zh] 本問では計4つの式ができるから,\ これを連立してa,\ b,\ cを求める.\ なお,\ \maru3と\maru4は同じ式である. \\[.2zh] f'(a)=0として求めたわけだが,\ 先に述べたようにこれだけでは実際に極値をとるとは限らない. \\[.2zh] 最後に,\ \bm{実際に極値をとるか(十分性)を増減表を作成して確認}することになる.