関数\ f(x)={ax²+bx+c}{x²+2}\ がx=-2で極小値\ 12,\ x=1で極大値2をとるとき,$ $定数a,\ b,\ cの値を求めよ.$ [横浜市立大] $f'(x)=0\ とすると x=-2,\ 1$ 増減表が下のようになり,\ 確かに$x=-2で極小値\ 12,\ x=1で極大値2をとる.$} 関数が数III}の範囲になっただけで,\ 根幹は数II}と全く同じである. {x=aで極値をもつための必要条件が\ f'(a)=0}\ である. 十分条件ではないことに注意.\ つまり,\ {極値をもつf'(a)=0\ だが,\ 逆は成り立たない.} 例えば,\ f(x)=x³\ はf'(0)=0だが,\ x=0で極値をもたない. {必要十分条件は「f'(a)=0\ かつ\ x=aの前後でf'(x)の符号が変化」}なのである. 商の微分の公式\ f(x)}{g(x)’={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}g(x)}²}\ を適用して微分する. 条件「x=aで極値p」は,\ {「f(a)=p,\ f'(a)=0」}という2つの数式で表現できる. 本問では計4つの式ができるから,\ これを連立してa,\ b,\ cを求める.\ なお,\ とは同じ式である. f'(a)=0として求めたわけだが,\ 先に述べたようにこれだけでは実際に極値をとるとは限らない. 最後に,\ {実際に極値をとるか(十分性)を増減表を作成して確認}することになる.
