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f(x)=e^{-x}\sin x\ (x\geqq0)\ が極大値をとるxの値を小さい順に\,x_1,\ x_2,\ \cdots\cdots\ とすると$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$き,\ \retuwa{n=1}{\infty}f(x_n)\ を求めよ.$ \\    よって,\ $\textcolor{red}{k=2(n-1)\,のとき極大}をとる.$ \\\\  よって,\ $数列\suuretu{f(x_n)}は\textcolor{red}{初項\ \bunsuu{1}{\ruizyoukon2}e^{-\frac{\pi}{4}},\ 公比e^{-2\pi}の等比数列}である.$ \\  また,\ $\textcolor{magenta}{\zettaiti{e^{-2\pi}}<1}\ より,\ \textcolor{magenta}{\retuwa{n=1}{\infty}f(x_n)\ は収束}する.$ \\\\[1zh] 前提として,\ \bm{減衰曲線\ f(x)=e^{-x}\sin x\ の概形をイメージ}できる必要がある. \\[.2zh] また,\ イメージできたとしても随所にハードルがあり,\ 解答を完結させるのは容易ではない. \\[1zh] 極大値を求めるから,\ まず微分する.\ 積の微分\ \{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\ を適用する. \\[.2zh] また,\ 後で利用するのでf”(x)も求めておく.\ f'(x)=-\,e^{-x}(\sin x-\cos x)\ を微分すると楽である. \\[1zh] f'(x)=0となるxを求める.\ 一般に,\ \sin\theta=0 のとき\ \theta=\cdots,\ -\,2\pi,\ -\,\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi,\ \cdots\ である. \\[.2zh] 本問では角の範囲を考慮すると0,\ \pi,\ 2\pi,\ \cdots\ であるから,\ これをkを用いて表す. \\[.2zh] 極値をとるxが求まるが,\ \bm{題意は極大値の和}であり,\ 極大値をとるxを求める必要がある. \\[.2zh] しかし,\ 極値をとるxは無限にあるから,\ 増減表を作成して極大・極小を考慮するのは困難である. \\[.2zh] そこで,\ \bm{f”(x)による極大・極小の判定法}を利用する(見落としがちなので要確認). \\[.5zh] である.\ なお,\ \bm{逆は成り立たない.} \\\\[-.7zh] 減衰曲線の概形から\ \bm{k=0,\ 2,\ \cdots\ のとき極大},\ k=1,\ 3,\ \cdots\ のとき極小をとる予想がたつ. \\[.2zh] よって,\ \bm{kの偶奇で場合分けしてf”(x)の正負を確認}する. \\[.2zh] このとき,\ k=0,\ 1,\ \cdots\cdots\ である一方,\ 問題よりn=1,\ 2,\ \cdots\cdots\ であることに注意する. \\[.2zh] つまり,\ k=2(n-1)=(偶数)=0,\ 2,\ \cdots\ と,\ k=2n-1=(奇数)=1,\ 3,\ \cdots\ とおける. \\[.5zh] x=k\pi+\bunsuu{\pi}{4}\ (k:偶数)で極大をとることが示されたから,\ 後は極大値を求める. \\[.5zh] k=(偶数)のとき,\ \sin\left(k\pi+\bunsuu{\pi}{4}\right)=\sin\bunsuu{\pi}{4}=\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\ である. \\[.8zh] nについての数列なので,\ \bm{nに依存しない定数部分を分割}すると本質が浮き彫りになる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{無限等比級数の和(等比数列の無限和)に帰着}するわけである. \\[1zh] 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和 こうして\bm{無限等比級数の和の公式\ \bunsuu{a}{1-r}}\ が導かれる. \\[.6zh] \bm{収束が前提の公式}であるから,\ それを確認したうえで適用する.  \zettaiti{e^{-2\pi}}=\bunsuu{1}{e^{2\pi}}