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関数$f(x)=\bunsuu{1}{\ruizyoukon{1-x^2}}\ (-\,1<x<1)$について,\ 次の問いに答えよ. \\[1.3zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $(1-x^2)f^{(n+1)}(x)-(2n+1)xf^{(n)}(x)-n^2f^{(n-1)}(x)=0\ (n\geqq1)$が成り立つ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{ (1)}\ \ ことを数学的帰納法を用いて示せ.\ ただし,\ $f^{(0)}(x)=f(x)$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $f^{(n)}(0)$を求めよ. \hspace{22zw}[静岡大] \\第$\bm{n}$次導関数の漸化式}}}} $が成り立つと仮定する.}(x)=0$が成り立つことを示す.}}}} \\[1zh] \maru1の両辺を$x$で微分すると \n=k+1$のときも与式は成り立つ. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ [1],\ [2]\,より,\ すべての自然数$n$について与式は成り立つ. \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
n=1のときを示そうとすると,\ f”(x)とf'(x)が必要になることに気付くので計算する. \\[.2zh] 後は,\ 代入して整理していけば0になる. \\[1zh] n=kのとき,\ 仮定したという宣言だけでなく,\ 実際にkを代入したときの式も書くべきである. \\[.2zh] また,\ n=k+1のとき,\ 最終目標となる式をあらかじめ書いておくのがオススメである. \\[.2zh] 自分が何をやるべきかがわかりやすくなるし,\ 仮に証明できなくても部分点をもらえる可能性が残る. \\[1zh] 仮定は第k+1次関数,\ 目標は第k+2次関数なので,\ 仮定を1回xで微分すると証明できる. \\[.2zh] このとき,\ (1-x^2)f^{(k+2)}(x)やxf^{(k+1)}(x)の微分が\bm{積の微分法の扱い}になることに注意する. \\[.2zh] 例えば,\ \{(1-x^2)f^{(k+2)}(x)\}’=(1-x^2)’f^{(k+2)}(x)+(1-x^2)\{f^{(k+2)}(x)\}’\ である. \\[.2zh] また,\ \{f^{(k)}(x)\}’=f^{(k+1)}(x)\ である.
nが偶数}のとき f^{(n)}(0)=(n-1)^2f^{(n-2)}(0)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{nが偶数のとnが奇数}のとき 
(2)は漸化式の問題である.\ わかりやすくするため,\ f^{(n)}(0)=a_nとおいて説明する. \\[.2zh] 最初の式は\ a_{n+1}-n^2a_{n-1}=0\ である.\ 求めるのはa_nなので,\ n→n-1として1つずらす. \\[.2zh] さらに移項すると,\ a_n=(n-1)^2a_{n-2}\ という漸化式に帰着する. \\[.2zh] a_{n+1}-a_n=g(n)\ (隣り合う項の差がnの式)は,\ 階差数列型漸化式であった. \\[.2zh] それに対し,\ a_{n+1}=g(n)a_{n}\ (隣り合う項の比がnの式)は,\ \bm{階比数例型漸化式}である. \\[.2zh] 通常の階比数列型漸化式は,\ \bm{繰り返し適用していくとa_1に帰着する.} \\[.2zh] ただし,\ 本問の階比数列型漸化式は1つおきの漸化式である. \\[.2zh] a_nとa_{n-2}の漸化式は,\ 1つおきの項の関係を表しているわけである. \\[.2zh] よって,\ a_1,\ a_3,\ a_5,\ \cdots\,とa_2,\ a_4,\ a_6,\ \cdots\,を同時に考えることはできず,\ 場合分けすることになる. \\[1zh] それでは,\ a_n=(n-1)^2a_{n-2}\ を繰り返し適用していってみよう. \\[.2zh] a_n=(n-1)^2a_{n-2}\,においてn→n-2とすると,\ a_{n-2}=(n-3)^2a_{n-4}\,となる. \\[.2zh] 同様にしてa_{n-4}=(n-5)^2a_{n-6}\,なども成り立つので,\ これらを順に適用していけばよい. \\[.2zh] a_n=(n-1)^2a_{n-2}=(n-1)^2(n-3)^2a_{n-4}=(n-1)^2(n-3)^2(n-5)^2a_{n-6}\ のようにできる. \\[.2zh] これを続けていき,\ f^{(0)}(x)=a_0\,までいくと終わりである. \\[.2zh] つまり,\ a_n=(n-1)^2a_{n-2}\ においてn=2としたときのa_2=1^2\cdot a_0\,が最後である. \\[.2zh] 大学で学習する2重階乗を用いると,\ 最終的な答えが\ \{(n-1)\kaizyou\kaizyou\}^2\ と簡潔に表せる. \\[.2zh] 例えば,\ 8\kaizyou\kaizyou=8\cdot6\cdot4\cdot2,\ 7\kaizyou\kaizyou=7\cdot5\cdot3\cdot1\ である. \\[.2zh] nが奇数のときも同様だが,\ n=3としたときのa_3=2^2\cdot a_1\,が最後になることに注意する.