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複素数平面上の異なる3点$\mathRM{A(\alpha),\ B(\beta),\ C(\gamma)}$を頂点とする$\triangle$ABCの内心Iを表す \\[.2zh] \hspace{.5zw}複素数を$z$とする.\ $z=\bunsuu{\zettaiti{\gamma-\beta}\alpha+\zettaiti{\alpha-\gamma}\beta+\zettaiti{\beta-\alpha}\gamma}{\zettaiti{\gamma-\beta}+\zettaiti{\alpha-\gamma}+\zettaiti{\beta-\alpha}}$となることを示せ. \\
三角形の内心を表す複素数}}
問題のzは一見複雑に思えるが,\ \zettaiti{\beta-\alpha}=c\,等を考慮すると要はz=\bunsuu{a\alpha+b\beta+c\gamma}{a+b+c}\ である. \\[.8zh] \alpha,\ \beta,\ \gamma\,だけで表現していってもよいが,\ 一旦a,\ b,\ cと設定すると簡潔な記述になる. \\[.8zh] z=\bunsuu{a\alpha+b\beta+c\gamma}{a+b+c}\ は,\ 内心の位置ベクトル\ \text{\scalebox{1}[.97]{$\bekutoru{OI}=\bunsuu{a\bekutoru*a+b\bekutoru*b+c\bekutoru*c}{a+b+c}$}}\ と同じ形である. \\[.8zh] それゆえ求め方も全く同じで,\ 内心が\bm{内角の二等分線の交点}であることを利用する. \\[1zh] \bm{内角の二等分線ときたら辺の比の関係}であった.\ まず,\ \angle\mathRM Aの二等分線に着目する. \\[.2zh] 線分の内分点を表す複素数の公式を適用して,\ 点\text Dを表す複素数が求められる. \\[.2zh] 2点\mathRM{A(\alpha),\ B(\beta)}を結ぶ線分をm:nに内分する点 \bunsuu{n\alpha+m\beta}{m+n} \\[.8zh] さらに,\ \angle\mathRM Bの二等分線に着目すると,\ \text I(z)が線分\text{AD}をc:\bunsuu{ac}{c+b}\,に内分する点として求められる. \\[.8zh] \text Dは長さaの辺\text{BC}をc:bに内分する点であるから,\ \text{BD}の長さは\ a\times\bunsuu{c}{c+b}\ である.