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複素数平面上の四角形ABCDの外側に各辺を1辺とする4つの正方形BAPQ,\ CBRS, \\[.2zh] \hspace{.5zw}DCTU,\ ADVWを作り,\ 各正方形の中心をそれぞれK,\ L,\ M,\ Nとおく. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ $\mathRM{KM=LN,\ KM\perp LN}$を証明せよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 線分KMと線分LNの中点が一致するのは四角形ABCDがどんな図形のときか. \\\\
複素数による図形の性質の証明}\bekutoru{BA}$を反時計回りに$\bunsuu{\pi}{2}$回転したものが$\bekutoru{BQ}$}である{K$(k)$は線分AQの中点}
\centerline{$\therefore\ \ \mathRM{\textcolor{red}{対角線AC,\ BDの中点が一致}するから,\ \bm{四角形ABCDは平行四辺形}である.}$} \\\\\\
記述試験で図形の性質の証明が問われた場合,\ 大きく分けて次の5つの解法がある. \\[.2zh] 三角比・三角関数(\text{数I・I\hspace{-.1em}I}),\ 初等幾何(数\text{A}),\ 座標平面(数\text{I\hspace{-.1em}I}),\ ベクトル(数\text{B}),\ 複素数平面(数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}) \\[.2zh] それぞれのメリット・デメリットを考慮し,\ 解法を選択することになる. \\[.2zh] 複素数平面のメリットは,\ 何と言っても\bm{回転移動に強い}ことである. \\[.2zh] 特に,\ \bm{90\Deg の回転移動(反時計回り)は,\ 複素数平面上では\,\times i}\,\left(=\polar{\bunsuu{\pi}{2}}\right)である. \\[.8zh] 直角が多い本問の証明では,\ 複素数平面の利用が有効というわけである. \\[.2zh] 単に直角を扱うだけならば,\ ベクトルも有効である(内積0). \\[.2zh] ただし,\ 回転を利用できる正方形・直角二等辺三角形・正三角形は複素数平面が特に有効である. \\[1zh] (1)\ \ まず,\ \bm{最終目標がn-l=i(m-k)}であることを理解できているかが重要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \text{\scalebox{1}[.97]{$これは,\ m-k\ (\bekutoru{KM})\,を\,\bunsuu{\pi}{2}\,回転すると\,n-l\ (\bekutoru{LN})\,になることを意味している.$}} \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ これさえ示せば,\ \mathRM{KM\perp LN}はもちろん,\ \mathRM{KM=LN}も示されたことになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \text{\scalebox{1}[.97]{$\bekutoru{KM}\,を\,\bunsuu{\pi}{2}\,回転して\,\bekutoru{LN}\,と一致するならば,\ \zettaiti{\bekutoru{KM}}=\zettaiti{\bekutoru{LN}}\,であるはずだからである.$}} \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 最終目標さえ認識できていれば,\ やること自体は単純である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 4点\mathRM{A,\ B,\ C,\ D}を表す複素数を設定し,\ これを用いて他の点を表す. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 基本的な流れは位置ベクトルの問題と同様だが,\ 回転移動を積極活用する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \text{\scalebox{1}[.97]{$\bm{\bekutoru{BK}\,が\,\bekutoru{BA}\,を反時計回りに\,\bunsuu{\pi}{4}\,回転移動し,\ \bunsuu{\ruizyoukon2}{2}\,倍したもの}と考えることもできる.$}}
\phantom{(1)}\ \ l,\ m,\ nも同様に求まるので,\ 最終目標を目指せばよい. \\[1zh] (2)\ \ \alpha-\beta+\gamma-\delta=0の図形的意味に気付く必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ちなみに,\ 平行四辺形となるための条件は以下である(中学で学習). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  [1]\ \ 2組の対辺がそれぞれ平行である(定義). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  [2]\ \ 2組の対辺がそれぞれ等しい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  [3]\ \ 2組の対角がそれぞれ等しい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  [4]\ \ 対角線がそれぞれの中点で交わる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  [5]\ \ 1組の対辺が平行で長さが等しい.