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複素数$z=\Cnum{a}+{b}\ (a,\ b:実数)$に対し,\ $\bm{\textcolor{red}{\zettaiti z=\zettaiti{\Cnum{a}+{b}}=\ruizyoukon{a^2+b^2}}}$\ を\textbf{\textcolor{blue}{$\bm{z}$の絶対値}}という.} \\[.2zh]  複素数平面において,\ \textbf{\textcolor{red}{原点と点$\bm{z}$の距離}}という図形的意味をもつ. \\\\ \end{pszahyou*}} \\\\[1zh]  \textbf{\textcolor{blue}{複素数の絶対値の性質}} \\\\ [4]\ \ $\bm{\textcolor{red}{\zettaiti{\alpha\beta}=\zettaiti{\alpha}\zettaiti{\beta}}}$,  $\bm{\textcolor{red}{\zettaiti{\bsityuu\bunsuu{\alpha}{\beta}}=\bunsuu{\zettaiti\alpha}{\zettaiti{\beta}}}}$} \\[1zh]  {\large [5]\ \ $2点\ \alpha,\ \beta\ 間の距離  \bm{\textcolor{red}{\zettaiti{\beta-\alpha}}}$} \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} [1]\ \ \zettaiti{z}=0\ \Longleftrightarrow\ \ruizyoukon{a^2+b^2}=0\ \Longleftrightarrow\ a=b=0\ \Longleftrightarrow\ z=0  [2]\ \ 図より明らか. \\[1zh] [3]\ \ z\kyouyaku z=(\Cnum{a}+{b})(\Cnum{a}-{b})=a^2+b^2\ より,\ \zettaiti{z}^2=z\kyouyaku z\ (\bm{超重要事項})が成立する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \zettaiti z=\ruizyoukon{a^2+b^2}\,は,\ \bekutoru*z=(a,\ b)としたときの\zettaiti{\bekutoru*z}=\ruizyoukon{a^2+b^2}\ と同じ意味をもつ. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \zettaiti{\bekutoru*z}^2=\bekutoru*z\cdot\bekutoru*z\ であるから,\ 複素数平面の\,z\kyouyaku z\ はベクトルの\ \bekutoru*z\cdot\bekutoru*z\ と対応している. \\[1zh] [4]\ \ \alpha=\Cnum{a}+{b}\ などとおかなくても,\ [3]を利用すると簡潔に示せる. \\[.2zh] [5]\ \ \zettaiti{\bekutoru{AB}}=\zettaiti{\bekutoru{OB}-\bekutoru{OA}}\ と同じである. %実数のように{\zettaiti z}^2=z^2\,は成立しないので注意. z^2=(\Cnum{a}+{b})^2=\Cnum{(a^2-b^2)}+{2ab}\ である. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\begin{tabular}{|p{13.1cm}|} \hline \\[-.8zh] \hspace{.5zw}複素数$\alpha,\ \beta$が$\zettaiti{\alpha}=5,\ \zettaiti\beta=8,\ \zettaiti{\alpha-\beta}=7$を満たすとき,\ $\zettaiti{2\alpha+\beta}$の値を求めよ. \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\ ベクトルの問題と同様,\ \bm{絶対値は2乗して扱う.} \\[.2zh] \zettaiti{z}^2=z\kyouyaku z\ の相互変換を瞬時に行えるまでに慣れることが重要である. \\[.2zh] \zettaiti{\alpha-\beta}\ を2乗すると\ \alpha\kyouyaku\beta+\kyouyaku\alpha\beta\ が求まり,\ それを利用して\,\zettaiti{2\alpha+\beta}\ の2乗を求めればよい. \\[1zh] さて,\ 本問は機械的な計算によって求まるが,\ その意味合いが重要である. \\[.2zh] 前半は,\ \zettaiti{\bekutoru*a}=5,\ \zettaiti{\bekutoru*b}=8,\ \zettaiti{\bekutoru*a-\bekutoru*b}=7\ から\ \bekutoru*a\cdot\bekutoru*b\ を求める過程と同じである. \\[.2zh] \zettaiti{\bekutoru*a-\bekutoru*b}^2=\zettaiti{\bekutoru*a}^2-2\bekutoru*a\cdot\bekutoru*b+\zettaiti{\bekutoru*b}^2\ と比較すると,\ \alpha\kyouyaku\beta+\kyouyaku\alpha\beta\ が2\bekutoru*a\cdot\bekutoru*b\ と対応している. \\[.2zh] つまり,\ \bm{\bunsuu{\alpha\kyouyaku\beta+\kyouyaku\alpha\beta}{2}\ はベクトルの内積\ \bekutoru*a\cdot\bekutoru*b\ に相当する式}なのである. \\[1zh] さらに言えば,\ \zettaiti{\bekutoru*a-\bekutoru*b}^2=\zettaiti{\bekutoru*a}^2+\zettaiti{\bekutoru*b}^2-2\bekutoru*a\cdot\bekutoru*b\ は\bm{余弦定理のベクトル表示}であった. \\[.2zh] 三角形\text{OAB}に対する余弦定理\ \text{BA}^2=\text{OA}^2+\text{OB}^2-2\,\text{OA}\cdot\text{OB}\cos\theta\ と対応している. \\[.2zh] 結局,\ \zettaiti{\alpha-\beta}^2=\zettaiti{\alpha}^2+\zettaiti{\beta}^2-(\alpha\kyouyaku\beta+\kyouyaku\alpha\beta)\ は\bm{余弦定理の複素数表示}だったわけである. \\[-.8zh] \hspace{.5zw}$複素数\ \alpha,\ \beta,\ \gamma\ が\ \zettaiti\alpha=\zettaiti\beta=\zettaiti\gamma=1$を満たす. \\[.2zh] \hspace{.5zw}このとき,\ $\zettaiti{\alpha+\beta+\gamma}=\zettaiti{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}$であることを示せ. \\ \\[-.8zh] \hline 本解は\ \zettaiti{z}^2=\zettaiti{w}^2\ を示す単純な解法であり,\ 機械的に計算すれば済む. \\[.2zh] A^2=B^2\ \Longleftrightarrow\ A=B\ が成り立つのは\ A\geqq0,\ B\geqq0\ という条件の下であるからこれを断る. \\[1zh] \zettaiti{\alpha}=1\ という条件があるとき,\ \kyouyaku\alpha=\bunsuu{1}{\alpha}\ として代入する手法もよく使われる. \\[.2zh] これは,\ \alpha\ と\ \kyouyaku\alpha\ を2文字とみなしたとき,\ \bm{1文字消去して文字数を減らす}効果をもつ. \\[.2zh] 本問の場合,\ 6文字が3文字にまで減り,\ 等式が証明される. \\[1zh] 2つ目の別解は2乗せずに直接的に示したものである. \\[.2zh] \bm{2乗することなく,\ 条件\ \zettaiti{\alpha}=1\ を式本体に組み込めている}点が重要である. \\[.2zh] 共役複素数と絶対値の性質及び条件の巧みな利用が必要で,\ 先を見越せる位に慣れていないと難しい. \\[.2zh] 途中,\ \zettaiti{\bsityuu\bunsuu{\alpha}{\beta}}=\bunsuu{\zettaiti\alpha}{\zettaiti\beta}\ を用いて絶対値を分母分子に分割,\ さらに\ \zettaiti{\alpha\beta}=\zettaiti{\alpha}\zettaiti{\beta}\ を用いて分割した. \\[.8zh] また,\ 分子では\ \bm{\kyouyaku{\alpha+\beta}=\kyouyaku\alpha+\kyouyaku\beta\ を逆に適用}した.\ 最後,\ \bm{\zettaiti{\kyouyaku z}=\zettaiti{z}}\ によって目的の形が得られる. \hspace{.5zw}複素数$\alpha,\ \beta$が$\zettaiti\alpha<1,\ \zettaiti\beta<1$を満たすとき,\ $\zettaiti{\bunsuu{\alpha-\beta}{1-\kyouyaku\alpha\beta}}<1$であることを示せ. \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\  $\zettaiti{\alpha-\beta}<\zettaiti{1-\kyouyaku\alpha\beta}$\ を示す. \\[.5zh]   $\textcolor{red}{\zettaiti{1-\kyouyaku\alpha\beta}^2-\zettaiti{\alpha-\beta}^2}=\textcolor[named]{ForestGreen}{(1-\kyouyaku\alpha\beta)(\kyouyaku{1-\kyouyaku\alpha\beta})}-\textcolor[named]{ForestGreen}{(\alpha-\beta)(\kyouyaku{\alpha-\beta})}$ \\[.2zh]   $\phantom{\zettaiti{1-\kyouyaku\alpha\beta}^2-\zettaiti{\alpha-\beta}^2}=(1-\kyouyaku\alpha\beta)(1-\alpha\kyouyaku\beta)-(\alpha-\beta)(\kyouyaku\alpha-\kyouyaku\beta)$ \\[.2zh]   $\phantom{\zettaiti{1-\kyouyaku\alpha\beta}^2-\zettaiti{\alpha-\beta}^2}=\{1-(\alpha\kyouyaku\beta+\kyouyaku\alpha\beta)+\zettaiti{\alpha}^2\zettaiti{\beta}^2\}-\{\zettaiti{\alpha}^2-(\alpha\kyouyaku\beta+\kyouyaku\alpha\beta)+\zettaiti{\beta}^2\}$ \\[.2zh]   $\phantom{\zettaiti{1-\kyouyaku\alpha\beta}^2-\zettaiti{\alpha-\beta}^2}=1+\zettaiti{\alpha}^2\zettaiti{\beta}^2-\zettaiti{\alpha}^2-\zettaiti{\beta}^2=\textcolor{red}{(1-\zettaiti{\alpha}^2)(1-\zettaiti{\beta}^2)}$ \\[1zh]  ここで,\ $\zettaiti\alpha<1,\ \zettaiti\beta<1$より,\ $\textcolor{cyan}{{\zettaiti\alpha}^2<1,\ {\zettaiti\beta}^2<1}$である. \\[.5zh]  よって $\zettaiti{1-\kyouyaku\alpha\beta}^2-\zettaiti{\alpha-\beta}^2=\textcolor{red}{(1-\zettaiti{\alpha}^2)(1-\zettaiti{\beta}^2)>0}$ \\[.5zh]  ゆえに $\zettaiti{1-\kyouyaku\alpha\beta}>0,\ \zettaiti{\alpha-\beta}\geqq0$\,より $\zettaiti{\alpha-\beta}<\zettaiti{1-\kyouyaku\alpha\beta}$ \\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{\zettaiti{\bunsuu{\alpha-\beta}{1-\kyouyaku\alpha\beta}}<1}$} \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 分数のままだと記述が面倒になるので分母を払った式を示す. \\[.2zh] \zettaiti{A}>\zettaiti{B}\ \Longleftrightarrow\ {\zettaiti{A}}^2>{\zettaiti{B}}^2\ (両辺が正なら2乗しても同値)なので,\ {\zettaiti{A}}^2-{\zettaiti{B}}^2>0\ を示す. \\[.2zh] 2乗の差を計算していくとうまく因数分解でき,\ 条件を考慮すると正であることが示される. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\\\ \hspace{.5zw}\begin{tabular}{|p{13.1cm}|} \hline \\[-.8zh] \hspace{.5zw}複素数$z$が$\zettaiti z=1$を満たすとき,\ $z^2+2z+\bunsuu1z$が負数であるような$z$を求めよ. \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\[.5zh]  \textcolor{red}{$z^2+2z+\bunsuu1z$は実数}であるから \textcolor{red}{$z^2+2z+\bunsuu1z=\kyouyaku{z^2+2z+\bunsuu1z}$} \\[.5zh]   よって $z^2+2z+\bunsuu1z=(\,\kyouyaku z\,)^2+2\,\kyouyaku z+\bunsuu{1}{\kyouyaku z}$ \\[.2zh]   ゆえに $(z+\kyouyaku z)\textcolor{cyan}{(z-\kyouyaku z)}+2\textcolor{cyan}{(z-\kyouyaku z)}-\bunsuu{\textcolor{cyan}{z-\kyouyaku z}}{z\kyouyaku z}=0$ \\[.2zh]   つまり $\textcolor{cyan}{(z-\kyouyaku z)}\left(z+\kyouyaku z+2-\bunsuu{1}{z\kyouyaku z}\right)=0$ \\[.5zh]   ここで $\textcolor[named]{ForestGreen}{z\kyouyaku z=1} より (z-\kyouyaku z)(z+\kyouyaku z+1)=0$ \\[.5zh]   よって \textcolor{red}{$z=\kyouyaku z$\ \ または\ \ $z+\kyouyaku z+1=0$} \\\\  $[1]$\ \ \textcolor{red}{$z=\kyouyaku z$}のとき,\ \textcolor{red}{$z$は実数}である.\ よって,\ $\textcolor[named]{ForestGreen}{\zettaiti{z}=1}\ より\ \textcolor{red}{z=\pm1}\ である.$ \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ \ $\begin{cases} \textcolor{red}{z=1}\ のとき & z^2+2z+\bunsuu1z=4>0  より 不適. \\[.8zh] \textcolor{red}{z=-\,1}\ のとき & z^2+2z+\bunsuu1z=\textcolor{red}{-\,2<0} より \textcolor{red}{適する.} \end{cases}$ \\\\\\  $[2]$\ \ $\textcolor{red}{z+\kyouyaku z+1=0}$のとき $\textcolor[named]{ForestGreen}{z\kyouyaku z=1}$\ より $\textcolor{red}{z+\bunsuu1z+1=0}$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ よって $z^2+z+1=0 より \textcolor{red}{z=\bunsuu{-1\pm\ruizyoukon3\,i}{2}}$ \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ $\textcolor{red}{z^2+2z+\bunsuu1z}=(-\,z-1)+2z+\bunsuu1z=z+\bunsuu1z-1=-\,1-1=\textcolor{red}{-\,2<0}$\ より \textcolor{red}{適する.} \\\\[.5zh] \centerline{$\therefore [1],\ [2]より \bm{z=-1,\ \bunsuu{-1\pm\ruizyoukon3\,i}{2}}$} \\\\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} \bm{大小比較できない虚数に正数や負数はない.}\ よって,\ \bm{負数ならば,\ それ以前に実数}であるはずだ. \\[.2zh] まず,\ f(z)=z^2+2z+\bunsuu1z\ が実数になるための条件\ f(z)=\kyouyaku{f(z)}\ を同値変形する. \\[.2zh] このとき,\ 必ず\ \bm{z-\kyouyaku z\ がくくり出せるはずである}ことを見越して変形する. \\[.2zh] f(z)=\kyouyaku{f(z)}\ は,\ f(z)=f(\kyouyaku z),\ つまり\,f(z)-f(\kyouyaku z)=0\ と変形できる. \\[.2zh] ここで,\ g(z,\ \kyouyaku z)=f(z)-f(\kyouyaku z)\ とする(z\,と\,\kyouyaku z\,を2文字とみる). \\[.2zh] z\,→\,\kyouyaku z,\ \kyouyaku z\,→\,z\ とすると,\ g(\kyouyaku z,\ z)=f(\kyouyaku z)-f(z)\ となるから,\ \bm{g(\kyouyaku z,\ z)=-g(z,\ \kyouyaku z)}\ が成立する. \\[.2zh] つまり,\ \bm{g(z,\ \kyouyaku z)は2文字を入れ替えると符号が逆になる式(交代式)}なのである. \\[.2zh] 交代式g(z,\ \kyouyaku z)=f(z)-f(\kyouyaku z)において\ \kyouyaku z=z\,とすると,\ g(z,\ z)=f(z)-f(z)=0\ となる. \\[.2zh] よって,\ 因数定理より,\ \bm{f(z)-f(\kyouyaku z)\ が必ず\ z-\kyouyaku z\ を因数にもつ}といえるわけである. \\[1zh] 他の視点からも考える.\ f(z)がどんな式であれ,\ \bm{zが実数ならば当然f(z)も実数}になる. \\[.2zh] よって,\ \bm{f(z)の実数条件としてzの実数条件 z=\kyouyaku z\,(z-\kyouyaku z=0)\ が導かれるのは必然}である. \\[1zh] [1]\ \ 要するにzが実数のときであるから,\ \zettaiti{z}=1\,より\,z=\pm\,1\,となる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \kyouyaku z=z\,より,\ \zettaiti{z}^2=z\kyouyaku z=zz=z^2=1\,と考えてもよい. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ f(z)=f(\kyouyaku z)\,はあくまで実数条件であり,\ 負数条件ではない(0や正数の可能性もある). \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ つまり,\ 必要条件にすぎないから,\ 最後は代入して負数になるか(十分性)の確認を要する. \\[1zh] [2]\ \ z\kyouyaku z=1\ を用いて\bm{1文字消去}すると,\ zのみの方程式に帰着する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ これを解いてzを求め,\ 負数になるかを確認する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 既存の方程式を変形した\ z^2=-\,z-1\ や\ z+\bunsuu1z=-\,1\ をうまく利用すると代入せずに済む. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  \betu\ \\[.5zh]  $\textcolor{purple}{z=\Cnum{a}+{b}\ (a,\ b:実数)}$とおく. \\[.5zh]  $\zettaiti{z}=1 より \zettaiti{z}^2=1    よって \textcolor{cyan}{a^2+b^2=1}\ \cdots\maru1$ \\[1zh]  $\textcolor{red}{z^2+2z+\bunsuu1z}=(\Cnum{a}+{b})^2+2(\Cnum{a}+{b})+\bunsuu{1}{\Cnum{a}+{b}}$ \\[.2zh]  $\phantom{z^2+2z+\bunsuu1z}=(\Cnum{a^2-b^2}+{2ab})+2(\Cnum{a}+{b})+\left(\Cnum{\bunsuu{a}{\textcolor{cyan}{a^2+b^2}}}-{\bunsuu{b}{\textcolor{cyan}{a^2+b^2}}}\right)$ \\[.2zh]  $\phantom{z^2+2z+\bunsuu1z}=\textcolor{red}{\Cnum{(a^2-b^2+3a)}+{(2ab+b)}}$ \\[.5zh]  これが負数となる条件は $\textcolor{red}{a^2-b^2+3a<0}\ \cdots\maru2, \textcolor{red}{b(2a+1)=0}\ \cdots\maru3$ \\[.5zh]  \maru3より $\textcolor{red}{b=0\ \ または\ \ a=-\bunsuu12}$ \\[1zh]  [1]\ \ $\textcolor{red}{b=0}$のとき \maru1より\ $a=\pm\,1$ \\[.5zh]    $\begin{cases} (a,\ b)=(1,\ 0)\ のとき & a^2-b^2+3a=1^2-0^2+3\cdot1=4>0 \\[.2zh] \textcolor{red}{(a,\ b)=(-\,1,\ 0)}\ のとき & a^2-b^2+3a=(-\,1)^2-0^2+3\cdot(-\,1)=\textcolor{red}{-\,2<0} \end{cases}$ \\[.5zh]    よって,\ $(a,\ b)=(1,\ 0)$は\maru2を満たさず,\ \textcolor{red}{$(a,\ b)=(-\,1,\ 0)$は\maru2を満たす.} \\\\  [2]\ \ $\textcolor{red}{a=-\,\bunsuu12}$\ のとき \maru1より\ $b=\pm\,\bunsuu{\ruizyoukon3}{2}$ \\[.2zh]    このとき $a^2-b^2+3a=\left(-\,\bunsuu12\right)^2-\left(\pm\,\bunsuu{\ruizyoukon3}{2}\right)^2+3\left(-\,\bunsuu12\right)=\textcolor{red}{-\,2<0}$ \\[.5zh]    よって,\ \textcolor{red}{$(a,\ b)=\left(\bunsuu12,\ \pm\,\bunsuu{\ruizyoukon3}{2}\right)$は\maru2を満たす.} \\[1.5zh] \centerline{$\therefore [1],\ [2]より \bm{z}=\Cnum{a}+{b}=\bm{-\,1,\ \bunsuu{-1\pm\ruizyoukon3\,i}{2}}$} \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 単純に\ z=\Cnum{a}+{b}\ とおいて求めることもできる. \\[.2zh] \zettaiti{z}=1\ による\maru1と負数条件の\maru2,\ \maru3をすべて満たす(a,\ b)を求める. \\[.2zh] \maru1と\maru3の2つの等式によって(a,\ b)が定まるから,\ これが\maru2を満たすかを調べればよい.