symmetrical-expression

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何となく2乗すればよいという認識しかもっていない人が多い. \\  \textbf{\textcolor{red}{対称式・交代式}}という観点からその意義をおさえておこう. \\\\  通常の対称式は,\ 基本対称式$x+y$と$xy$で表すのが基本であった. \\  一方,\ $\sin\theta,\ \cos\theta\ には,\ 常に\ \bm{\textcolor{cyan}{\sin^2\theta+\cos^2\theta=1}}の関係も存在する.$ \\  よって,\ 和\ $\bm{\sin\theta+\cos\theta}$\ と積\ $\bm{\sin\theta\cos\theta}\ $の一方から他方が求まる.}} \\  このとき,和を2乗することで,\ 和と積が結びつく.}} \\  結局,\ $\sin\theta\,と\,\cos\theta\ の対称式・交代式は,\ \bm{\textcolor{red}{和と積の一方の値だけで求まる.}}$ \\\\\\ 両辺を2乗}すると$ \\[.2zh]    あらかじめ和\ \sin\theta+\cos\theta\ を2乗して,\ 積\ \sin\theta\cos\theta\ の値を求めておく. \\ 本解は,\ 対称式の基本変形\ \bm{x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)}\ を用いている. \\ しかし,\ \sin\theta\ と\ \cos\theta\ の対称式では,\ 因数分解する方針が楽である(別解). \\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\ が利用できるからである. \\ 因数分解公式 \bm{x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)} 後で\ \sin\theta-\cos\theta\ の値が必要になるので,\ 最初に求めておく. \\ 交代式は,\ \bm{2乗すると対称式}となることを利用する. \\ 正と負の2つの値が求まることに注意する. \\[1zh] また,\ 交代式は,\ \bm{差をくくり出すと残りは対称式}であることも利用する. \\ 実質,\ 因数分解公式\ \bm{x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)}\ を用いることになる. \\ 対称式の基本変形に習い,\ \bm{x^3-y^3=(x-y)^3+3xy(x-y)}\ を用いてもよい. \bm{\tan\theta\ と\ \bunsuu{1}{\tan\theta}\ の対称式}\ である. \\[.8zh] xと\ \bunsuu1x\ の対称式の基本変形と同様にして,\ \tan\theta+\bunsuu{1}{\tan\theta}\ のみで表せる. \\[.8zh]  (複合同順)}$} 和と積から元の値を求めるとき,\ \bm{対称性を崩さずに求める}のが基本である. \\ そのためには,\ \bm{和と積をなす2数を解にもつ2次方程式を作成して解けばよい.} \\[1zh] x=\alpha,\ \beta\ を解にもつ2次方程式の1つは (x-\alpha)(x-\beta)=0 \\ 展開すると  を解にもつ2次方程式を作成できるのである.