sum-identity

検索用コード
加法定理は高校数学の最重要公式の1つであり,\ 絶対に忘れることは許されない. \\ \alpha+\beta\ のほうを暗記すれば,\ \bm{\alpha-\beta\ は間の+と-を全て逆にする}だけでよい. \\ 「シン,\ コス,\ コス,\ シン」や「\text{sccs}」などと工夫して,\ 完璧に暗記しよう. 三角比の値が既知なのは\ 30\Deg,\ 45\Deg,\ 60\Deg\ やその倍数の角である. \\ それを元に加法定理を用いると,\ \bm{15\Deg,\ 75\Deg,\ 105\Deg,\ 165\Deg}\ などの三角比が求まる. \\[1zh] (1)\ \ 105\Deg=90\Deg+15\Deg\ と考えても\ 15\Deg の三角比がわからない. \\ \phantom{(1)}\ \ \sin45\Deg,\ \cos45\Deg は普通\ \bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\ とするが,\ 後の計算を見据え,\ \bunsuu{\ruizyoukon2}{2}\ で代入した. \\[1zh] (2)\ \ ラジアンだとわかりにくいという場合,\ 一旦度数で考える. \\ 加法定理を適用後,\ \bm{有理化}すると簡潔な形になる. 三角比は,\ \sin,\ \cos,\ \tan のうち1つの値から,\ 他の2つの値を求めることができる. \\ これらの公式で必要となる三角比を全て求めてから,\ 加法定理を適用する. \\ このとき,\ \bm{角の範囲をもとに,\ 正負を決定する}のを忘れてはいけない. 2つの条件式の両辺を2乗して和をとると,\ 加法定理の形が表れる. \\ このとき,\ \bm{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\ \ \sin^2\beta+\cos^2\beta=1}\ を適用する. \\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\ と混同し,\ \sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\ とする\bm{間違いが多い}ので注意!!! \\[1zh] 本問は,\ 経験がなければ気付くのは難しいだろう. \\ \bm{加法定理で逆にまとめるという変形}は,\ 多くはないがそれなりに使う機会がある. \alpha,\ \beta,\ \gamma\ は綺麗な角ではないので,\ 直接\ \alpha+\beta+\gamma\ を求めることはできない. \\ そこで,\ まず\ \tan(\alpha+\beta+\gamma)\ を求める. \\ \bm{3つの角の和の三角比は,\ 2回加法定理を適用して求める.} \\ 結局,\ \bm{\tan(\alpha+\beta+\gamma)=1}\ となり,\ ここから\ \alpha+\beta+\gamma\ を求めることになる. \\[1zh] このとき,\ \bm{角の範囲を最大限絞り込めるか}が問われる. \\ 角の範囲を単純に考えると  は,\ 要は第1~3象限である. \\[.6zh] \tan\theta=1\ のとき,\ この範囲の\ \theta\ は \theta=\bunsuu{\pi}{4},\ \bunsuu54\pi\ の2つがある. \\[.6zh] 本解で示したように,\ 本問の解は\ \bunsuu54\pi\ ただ1つである. \\ この相違は,\ \bm{角の範囲の絞り込みが甘かった}せいである. \\ 程度の甘い範囲を元にしてはいけなかったのである. \\[1zh] \tan\alpha,\ \tan\beta,\ \tan\gamma\ の値から,\ \alpha,\ \beta,\ \gamma\ の範囲をより厳しく限定できる. \\ このとき基準となるのは,\ \tan30\Deg=\bunsuu{1}{\ruizyoukon3},\ \tan45\Deg=1,\ \tan60\Deg=\ruizyoukon3\ 等である. \\[.6zh] y=\tan\theta\ は,\\ の範囲では単調増加関数である. \\ つまり,\ \bm{角\ \theta\ が大きくなれば,\ \tan\theta\ の値も大きくなる.} \\ これは,\ \bm{角\ \alpha,\ \beta,\ \gamma\ が60\Deg=\bunsuu{\pi}{3}\ より大きい}ことを意味する. \\[.6zh] 結局,\ といえ,\ これを元に\ \alpha+\beta+\gamma\ の範囲を求めればよい. \\ すると,\ \bm{\alpha+\beta+\gamma\ は第3象限に限定され},\ ただ1つに定まることになる.