inequality-condition

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2x+y=8,\ x\geqq0,\ y\geqq0\ のとき,\ xy\ の最大値と最小値を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(2)\ (1)のとき,\ x^2y^2+4x^2+y^2\ の最大値と最小値を求めよ.$ \\ \phantom{ (1)}\ よって $x=2\ のとき 最大値\ 8, x=0,\ 4\ のとき 最小値0$ \\[1zh] 1つの等式を用いて1文字消去できるため,\ \bm{実質1変数}の問題である. \\ しかし,\ \bm{文字消去するとき,\ 消去する文字の存在条件に注意を払う}必要がある. \\ 本問は,\ 分数にならないようyを消去する方針でいく. \\ ここで,\ 消去するyには,\ y\geqq0という存在条件がある. \\ そこで,\ \bm{yの条件を残す文字xの条件に変換しておく}必要があるのである. \\ 最後,\ x=2,\ 0,\ 4のときのyの値は,\ y=-2x+8から求められる. 普通に1文字消去しようとすると,\ 4次関数になってしまい大変である. \\ (1)は,\ 暗に「xyのみの式にせよ」ということを示唆している. \\ 本問は,\ \bm{対称式と同様の変形により,\ xyのみで表せる.} \\ 4x^2+y^2を2xとyの対称式(2x)^2+y^2とみなすのである. \\ 後は,\ \bm{(1)で求めたxyの範囲で,\ xyの2次関数の最大・最小}を考えればよい. \\ (1)は(2)を\bm{xyのみの式にしたときの定義域を求める誘導}だったわけである. \\[1zh] わかりにくければ,\ 「xy=tとして,\ x^2y^2+4x^2+y^2\,をtで表す」と考える. \\ 4x^2+y^2=(2x+y)^2-4t=64-4t\ より,\ t^2-4t+64\ の最大・最小に帰着する. \\[1zh]